I. — FONCTIONS IMPLICITl-S

OQ en déduit successivement

Ox ()y '

f)»F ô'^V O^V , oV , Ox^ "^ ^ OxOy^ "~ dyi -^ "^ Oy^

dx«(>i -^ ' âx ôyi ^ ^JT c)r ^

elFon calculera ainsi de proche en proche y' , y", y"

Exemple. — Étant donnée une fonction j' — /{x i, on peut inversement considérer^ comme la variable indépendante et x comme une fonction dey définie par Téquation y - f{x). Si la dérivée f'{x\ n'est pas nulle pour la valeur Xq, qui donne j© —/(xq), il existe, d'après le théorème généra], une fonction et une seule de j' qui satisfait à la relation ^ - f(x) et qui prend la valeur Xo pour ^ ^^oi c'est ce qu'on appelle la fonction inçerse dt /(x). Pour calculer les dérivées successives x'^^ Xjt, Xy*, ... (le cette fonction, il suffit de différentier plusieurs fois de suite, en considérant y comme la variable indépendante, ce qui nous donn«*

O^ /''{X)(Xy)^ ^/\x)Xyty

O ^-/'"{X){Xy}^'^ 'i f {x)x'^Xy. — f K X )x"y*,

on en tire

. I . fix) „VJ^x)\t r(:r)r(-r)

^^~/\xr 'y- ""[/cr^p' ^y'-^ 'L7'(.ni''

H est à remarquer que ce système de formules ne chanj^c pas quand on permute x'y et f'ix), Xyt et /'(x), Xy» etf"{x), . . ., car la relation entrt* les deux fonctions^ =:/(x) et x — <^(y ) est évidemment réciproque.

Pour donner une application de ces formules, supposons que l'on veuille obtenir toutes les fonctions y — /(x » qui satisfont à la relation

quand on prend j^ comme la variable indépendante, el x comme la fonction, cette équation devient

Xy9 -- O.

Or, les seules fonctions dont la dérivée troisième soit nulle sont des poUnomes, du second degré au plus. On aura donc, pour r, une expression de la forme

Cl, Cit Gs étant trois constantes quelconques; en résolvant cette équation par rapport à y, on en conclut que toutes les fonctions y =/(x) qui satisfont à la condition proposée sont comprises dans la formule

y = a±: yjbx -t- c,

a, h^ c étant trois constantes arbitraires. Cette équation représente une parabole ayant son axe parallèle à l'axe des x.

24. Dérivées partielles. — Considérons maintenant une fonction implicite de deux variables définie par l'équation

les dérivées partielles du premier ordre sont données, comme nous l'avons déjà vu directement, par les relations

Pour avoir les dérivées partielles du second ordre, il suffît de différentier de nouveau les deux équations (7) par rapport k x et ky, ce qui donne trois relations distinctes seulement, car la dérivée de la première par rapport ky est identique à la dérivée de la seconde par rapport à x^

â*F d«F dz Ô^V /âzV àF d^z

dF ÔF âz

dF dF dz

dx Oz Ox '

dy dz dy

• dz dx dz* \àx/

dx* ' dx dz dx dz* \dx/ dz dx* *

^!I ^iL ^f ^"L ^ d^ dz dz dF d^z __ dx dy dx dz dy dy dz dx dz* dx dy dz dx dy ~ *

d*F d*F dz d*F/ dzy dF d*z

~d}à "^ ^ oj^ dy'^'dz^ \dy) "^ 'dz dy* ~ ^'

et l'on calculerait de même les dérivées du troisième ordre et d'ordre plus élevé.

L'emploi des différentielles totales permet encore de déterminer en même temps toutes les dérivées partielles du même ordre. II suffît pour cela de s'appu^'cr sur le théorème suivant : Lorsque plusieurs fonctions Uj ç, iv, . . , d^un nombre quelconque de variables indépendantes x, v, ;;,... vérifient une relation F = o, les différentielles totales satisfont à la relation dF = o, obtenue en prenant la différentielle totale de F comme si toutes les variables dont elle dépend étaient des variables indépendantes. Pour le démontrer, supposons qu'on

ait une relation F(w, i', w) =^ o, w, r, iv étant des fonctions des variables indépendantes x^ y, z^ t. Les dérivées partielles de //, p, w satisfont aux quatre équations

c»K du d¥ d^ ^!! ^i^

du dx ds^ d.r dw dx *

^F du dF dx' dF^ dw

du dy d^ dy dw dy ~^ ^

dF du ^ dV dy dY dw __

du dz d^' dz dw dz

olF du dF^dy dV^dw

dû~dt '^ ^ di '^ dw dt" ^'

multiplions-les respectivement par dx, dy^ dz^ dt et ajoutons-les, il vient

-- du -^. dv -^ - dw — dV = o.

du dv dw

Nous voyons encore ici l'avantage de la notation difTérentielle, car la relation précédente est indépendante du choix et du nombre des variables indépendantes. Pour avoir une relation entre les diflTéfentielles du second ordre, il suffira d'appliquer le théorème général à la relation rfF ^^ o, considérée comme une équation entre Uy V, iv, rfw, dv^ dw, et ainsi de suite; on remplacera seulement par zéro toutes les diflerentielles d'ordre supérieur au premier des variables que l'on a choisies pour variables indépendantes.

Appliquons ceci au calcul des différentielles totales successives de la fonction implicite définie par l'équation (6), :r et ^ étant les variables indépendantes. Il vient

dF dx

dx -f-

dy ^

H- ^' dz dz

/dF \dx

dx

dF

dy

dF

-^dz

\(î) dz\ -

dz

et les deux premières de ces équations peuvent remplacer les cinq relations (7) et (8); de l'expression de dz on déduit les deux dérivées du premier ordre, et de l'expression de d^z on déduit les trois dérivées du second ordre, etc. Considérons par exemple

l'équation

Ax*-+- A>« -t- A'^2 = I,

5o CHAPITRE II. — FONCTIONS IMPLICITES » ETC.

qui donne, en diflfëren liant deux fois,

Ax dx -^ A'y dy — A' ^ dz — d.

A dx'--^ \'dy^-h A'dz^-^ M'zd^z ^

de la première on lire

, At dx -^ S! y dy

et, en portant cette valeur de dz dans la seconde, il vient

Ai Ax^ -^ A" z^)dx't -V- 1 \k' xy dx dy ~^- K' ( k' y'^ -^ \'j«Wv' A'^'Z^

On aura donc, en employant la notation de Monge,

A(Aar»-4- A'-5«) AA'xy A7A'K»-f- A'sM

La méthode est évidemment générale, quel que soit le nombre des variables indépendantes et Tordre des dérivées partielles que Ton veut calculer.

Exemple. — Soit z =/{x, y) une fonction des deu\ variables x et y. Considérons, dans la relation précédente, y et z comme deux variables indépendantes, et x comme une fonction implicite de ces deux variables; proposons-nous de calculer les différenlielles du premier et du second ordre dx et d^x. On a d'abord

dz = /- dx-h - - dy ; àx cj/

comme on prend ^ et ^ pour variables indépendantes, on doit faire

et, en prenant de nouveau la différentielle, il vient

o = '^dx^-^- -Jt -^^ dxdy-i-P^^ dy^-r- ^/ d*x. àx^ àxdy ^ dy^ "^ dx

Ces équations peuvent s'écrire, en employant la notation abrégée de Monge pour désigner les dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction /(a:, j^),

dz ~ p dx -\- q dyy o = rdx^-i- 2S dxdy -^ t dy^-{-p d^x:

on tire de la première

^^dj^qjly^

P «t, en portant cette valeur de dx dans la seconde, on a

r dz*-¥- i(ps — qr)dy dz -^( q^r — y.pqs -^ p^()dy^

Les dérivées partielles du premier et du second ordre de x, considérée romme fonction des variables z et j^, ont donc les valeurs suivantes

àx 1 dx

àz " y 'Oj~

à^x qr — ps

i -^- = ^ - — r^> ôy dz p^

T^pqs — p^t — q^r

Proposons-nous, comme application de ces formules, de trouver toutes

les fonctions f(x, y) satisfaisant à Téquation q^ r -h p^ t = ^pqs. Si, dans

la relation z =/(x, y), on considère x comme une fonction des variables

â^x indépendantes y et z^ la condition précédente devient -r— ^ = o. Cette

équation exprime que — ne dépend pas dey; on a donc

f^(s) étant une fonction quelconque de z. Cette nouvelle équation peut encore s'écrire

et elle exprime que x — y^(^) ne dépend pas dc^'. On a donc encore

xr^y'^(z)^^(z),

'^(^) étant une autre fonction quelconque de z, et l'on obtiendra toutes les fonctions z=f(Xjy) répondant à la question en résolvant l'équation précédente par rapport à z. Cette équation représente une surface ongendrée par une droite qui reste parallèle au plan des xy.