III. — SÉRIES A TERMES VARIABLES
174. Intégration et différentiation des séries. — Une série uniformément com^fsrgente peut être intégrée terme à terme.
Soient Xo^ ^i deux valeurs de x comprises entre a et 6, et n un nombre entier tel que | R„(j7)| <; s pour toutes les valeurs de x de cet intervalle. On peut écrire
/(x) -- Uo{x)-h Ui{x) -t-. . .-^ U„{J^) *- ^n(^)*
et par suite
/ /{x)dx— I Uo(x)dx -\- I Ui(x) dx -.- . . .
la valeur absolue de l'intégrale / R,t{^)dx est moindre que
s\Xi — Xo\ et, par conséquent, peut être rendue plus petite que tout nombre donné, pourvu que Ton prenne n assez grand. Il s'ensuit que Ton a
J{x)dx = I Uo{x)dx-^ j Ui{x)dX'i-..,^ j u,i{x)dx-h...:
si laissant Xq fixe, on considère x^ comme variable, on a une série I Uoix) dx -^ . . .-^ j Unix) dx -h . . ,
qui est convergente dans l'intervalle (<:/, h) et dont la somme admet pour dérivée /(a;).
De même, une série peut être differentiée terme à terme pourvu que la série des dérivées soit uniformément convergente.
Soit
/(x) = Uo(x)-h Ui{x)—...-r-Un{x)^-...,
une série convergente dans l'intervalle (a, b)] supposons que la série formée par les dérivées est uniformément convergente dans le même intervalle, et désignons par o{x) la somme de cette nouvelle série
"^^^^ ~ dJ ~^ dx " "'d^ ^""
4lO CHAPITRE Vlll. -— DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
En intégrant terme à terme entre deux limites Xq et j?, comprises entre a et 6, il vient
/ <f(x)dx=z [uq{x)— Uo{Xo)]'T-[Ui{x)—Ui(Xo)]-h
c'est-à-dire
I ^(x)dx=/(x)—/{xo)y
relation qui montre que <f{^) est la dérivée de f{x).
Exemples. — i° L'intégrale / — dx ne peut s'exprimer par
une combinaison en nombre fini de fonctions élémentaires; écrivons-la comme il suit
/ — dx — j h/ ; — dx = \o^x -f- / — - dx.
On peut trouver pour la dernière intégrale un développement en série valable pour toute valeur de x; on a, en efl'et,
et cette série est uniformément convergente, dans l'intervalle de — R à -|-R, aussi grand que soit R, car les valeurs absolues de ses termes sont moindres que les termes de la série
On en conclut que la série, obtenue par l'intégration
qui est convergente quel que soit x, représente une fonction dont la dérivée est •
2"* Le périmètre d'une ellipse, dont le grand axe est a a et l'excentricité e, est égal à l'intégrale définie (n* H2)
S — 4« / ^i — e^s'in*<f do.
m. — SÉRIES A TERMES VARIARLFS. 4ll
Le produit e*sin*îp est compris entre o et c*< i. de sorte que le radical est égal à la somme de la série, obtenue par la formule du binôme
i/i — c^sin^o — I e*sin*î? e^sin^o — . . .
i.3.5...(ci/i-3) ,,^ . ,„ — — , ^ — ' e*"sin*'»o — . . .
et la série du second membre est uniformément convergente, car ses termes sont moindres en valeur absolue que ceux de la série obtenue en faisant sin?p = 1. On peut donc intégrer terme à terme et en observant que Ton a (n* 116)
TZ
il vient
/i — c* sin* o rf9 = - < I — , e- — prr e^ — e« — . . .
ri.3.5...(:i/i — 3)V-
L 2.4.6. ..2Ai J ^ ^
Si Texcentricilé e est très petite, il suffit de prendre un petit nombre de termes dans le second membre pour avoir la valeur de l'intégrale avec une grande approximation.
On peut, de la même façon, développer en série l'intégrale
quelle que soit la limite supérieure ©. Nous citerons encore la formule
qui donne le développement de l'intégrale complète de première espèce de Legendre.
La définition de la convergence uniforme s'étend aux séries dont les termes sont fonctions de plusieurs variables indépendantes, et aux séries multiples. Par exemple, soit
UQ{x,y) -^ u^{x, y) -t- . . .-\' Unix, y ) -\- . . .
une série dont les termes sont des fonctions continues des deux variables x^ y^ et* qui est convergente lorsque le point (x, y) reste à l'intérieur d'un contour C. On dira que la série est uniformément convergente dans ce domaine, si à tout nombre positifs on peut faire correspondre un nombre n tel que la valeur absolue du reste R„ soit moindre que e pour tout point (^x, y) intérieur au contour C, et Ton démontrera comme plus haut que la somme de cette série est une fonction continue des variables x el y dans ce domaine. Le théorème sur l'intégration se généralise aussi^ siy(j?, y) est la somme de la série précédente, on a
f J /(^^ y)dxdy = j j Uo(x,y)dxdy -{- j j Ux{x, y) dx dy —...
Un{x,y)dxdy -h....
■ff^
toutes les intégrales doubles étant étendues à Taire intérieure au contour C.
De même une série double dont les termes sont fonctions d'une ou plusieurs variables, et qui est absolument convergente lorsque ces variables restent comprises dans un certain domaine, est dite uniformément convergente si Ton peut prendre un nombre de termes assez grand pour que la valeur absolue de la somme des termes négligés soit moindre qu'un nombre positif e, pour tous les systèmes de valeurs des variables considérées. Les propriétés établies plus haut s'étendent sans difficulté, quel que soit le nombre des variables indépendantes, el aussi quel que soit le nombre des dimensions de la série.
Remarque. — Lorsqu'une série n'est pas uniformément convergente, on ne peut pas toujours l'intégrer ternie à terme; en voici un exemple. Posons
S„(ar) — nxe-^^\ SoC^r) — o, Ua{x) = S„— S„i (n = i, îa, ...);
la série dont le terme général est u„{t) est convergente et a pour somme zéro, car ^n{x) tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. On peut donc écrire
f{x) = o = Mi(>) -f- Ui{x) 4-. . .-H W„(X)-H. . .
et par suite / f{x) dx — o. D'autre part, si l'on intègre la série terme
