Application à la différentiation sous le signe /. — I^u

démonstration, donnée plus haut, de la formule de différentiation

sous le signe / suppose essentiellement que les limites Xq et X

sont finies (n" 97). Si X est infini, on n'a pas toujours le droit d'appliquer la formule. Prenons, par exemple, l'intégrale

17/ N r^* sinaa?

F(a) r^ / dx;

celle intégrale ne dépend pas de a, car, si on fait le changement de variable olx ^~ y-i elle devient, en supposant a >> o,

En appliquant à Tintégrale F(a) la formule ordinaire de différentiation, on arrive à l'égalité

F'(a)— / 0,0% CL X cl X y

dont le premier membre est nul, tandis que le second membre n'a pas de valeur déterminée.

On peut trouver des conditions suffisantes pour qu'on ait le droit de différentier par la formule habituelle, même lorsqu'une des limites est infinie, en rattachant la question à l'étude des séries. Considérons d'abord une intégrale

f{x)dx,

que nous supposons avoir une valeur déterminée. Soient a^-, «21 •••7 (^11} ••• une suite indéfinie de nombres plus grands

4l4 CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

que «0, allant constamment en croissant, de telle sorte que a„ augmente indéfiniment avec n. Posons

f{x)dx, Ui= / f{x)dx,

''Un

la série

est convergente et a pour somme f f{^) dx, car la somme Sn

Il est à remarquer que la réciproque n'est pas toujours vraie. Prenons, par exemple,

y(a:) = cosor, «0=0, ai =r r, ..., an= mzy ...,

nous avons

U,i= / cosx dx = o;

la série est donc convergente, tandis que l'intégrale ne tend vers aucune limite.

Soit maintenant /{x, a) une fonction continue des deux variables X et a, lorsque x est supérieur à a© et a compris dans un

limite lorsque / augmente indéfiniment, quelle que soit la valeur de a, celte limite est une fonction de a,

F'(a)= / /(x,a)dx,

que l'on peut remplacer, comme on vient de l'expliquer, par la somme d'une série convergente dont les termes sont des fonctions continues de a,

F(a) = Uo(a)-HU,(a)-i-...-4-U«(a)-h..., Uo(a)= f '/(x,0L)dx, U,(a)= f 'f{x,a)dx,