III. — SÉRIES A TERMES VARIABLES. 4l

Celle fonction F(a) est continue, pourvu que la série soîl uniformément convergente. Par extension, nous dirons que Cin-

tégrale j /{^y (x.)dx est uniformément convergente dans

rinlervalle (a©, a,) si à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre N tel que l'on ait, pour toute valeur

(le />N, / fi-^y ol) dx <-''^Zj quel que soit a dans l'inter-

valle (a©, ai). Si Tintégrale est uniformément convergente, il en est de même de la série, car si Ton prend «„]> N, on aura

IR/il-'y f{x,ai)dx

la fonction F(a) est donc continue dans l'intervalle (ao, a,).

Cela posé, supposons que l'intégrale 1 ■^- dx ait une valeu

finie pour toute valeur de a comprise dans l'intervalle (a©, ai), et qu'elle soit uniformément convergente dans cet intervalle; on peut aussi la représenter par la somme d'une série

'^*^{efxr.Vo(a)- Vi(a)-.^... .-V„(a)-.... où

^■'--f:^' v..jf;-/^

La nouvelle série est uniformément convergente et ses termes sont égaux respectivement aux dérivées des termes de la première. On a donc, d'après le théorème qui a été démontré sur la dilTérentiation des séries,

dx, 0%

c'esl-à-dire que la formule de dilTérentiation sous le signe /

s'applique encore, pourvu que l'intégrale qui figure au second membre soit uniformément convergente.