Exemples. — i" Reprenons riniégrale du n

a-r dx

4l6 CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

OÙ a est positif. L'intégrale obtenue en difTérentiant

- I e-*^sina:

dx

est uDiformément convergente pour toutes les valeurs de a supérieures à un nombre positif A'. On a en effet

/ e-'^s'inx dx < / e-^^'^dx = - e-^^^

et il suffit de prendre / assez grand de façon que l'on ait A'e*' > - pour que

la valeur absolue de cette intégrale soit inférieure à £, lorsque a est supérieur à k. On a donc

F'(of) — — / e-'^'^ sinx dx;

l'intégrale indéfinie a déjà été calculée (n" 119) et l'on trouve

., . re-°^-^(rosj- H- a sinj-)"]-^* — i F (a ) = 1^ , ^ ^, J^ ^ ^--. ;

on tire de là

F(a) = C — arc tanga,

et l'on détermine la constante C en remarquant que l'intégrale définie F(i) tend vers zéro lorsque a croît indéfiniment, ce qui donne C = -• On a donc en définitive

c-fxx i^ — ^jc = arc tanff-»

Cette formule n'est établie que pour les valeurs positives de a, mais on a vu plus haut que le premier membre est la somme d'une série alternée

dont le reste R^ est toujours inférieur à - • Cette série est donc uniformément convergente, et l'intégrale est une fonction continue de a, même pour a = o. En faisant tendre a vers zéro, on a donc à la limite

1° Si, dans la formule du n** 134,

/ e-dx=^f