Théorème général. — Soit (E) un système de n équations

F, (a:,, Xi, .,.. Xp; u,, Wj, ..., a„) = o,

FtiXu Xi, ..., Xp; U,, Ml, ..., ll„) rrrO,

entre n-hp variables W|, Wa» •••, ifn'j -^i» ^2? •••? ^p- On

suppose que ces équations sont satisfaites pour les valeurs Xi = :rj, . . . , Xp=iX^p, Ut r= wj, . . . , Un=^ uf^y que les Jonctions F| sont continues et admettent des dérivées partielles du premier ordre continues dans le voisinage de ces valeurs, et enfin que le déterminant

dFx

âFx

ÔUx

dut

dUn

ôFt

dux

àut

àUn

dV„

àF„

djn

dux

âuf

dUfi

n^ est pas nul pour

Xi^X^i, llA=l

Dans ces conditions, il existe un système de fonctions et un

seul W|i^ ^i{^\^ ^tj • • •, ^p)t • • •, Un—- 'f/i(^i, X2'> . . ., Xp),

tatisfaisant aux équations (E), et se réduisant respectivement à wj, u\y • • ., wJÎ, pour Xi =r. x^^, . . ., Xp= x^^.

Le déterminant A s'appelle le Jacobien (*) ou le Déterminant fonctionnel des n fonctions F|, F2, ..., F/j par rapport aux variables Wi, Wj, •• ., w,,. On le représente par la notation

D(£/,, Mj, ..., Un)'

' Nous commencerons par établir le théorème dans le cas parti-, culier d'un système de deux équations avec trois variables indépendantes et deux inconnues u et ç

(9) Fi(^,r, s, «, ^)^o,

(10) Fj(^,7, -, w, i') = o.

Ces équations sont satisfaites, par hypothèse, pour x = Xo^ y =^oj ^ = ^o> u ^^ Wo> ^ = ^'oî et le déterminant

^F, ÔF^ aF, dFj du dv àv du

n'est pas nul pour ce système de valeurs; il en résulte que l'une au (») Jacobi, Journal de Crelle, tome 22.