I. — SERIES ENTIERES A UNE VARIABLE. 43 f

limite, et représente une fonction continue pour toutes ces valeurs

tie la variable. Considérons, par exemple, la fonction ^/x- — a, que

nous pouvons écrire ± x( i — -^ ) ; pour des valeurs de x dont

la valeur absolue est supérieure à y/^r, ( i — ^ j peut être développé suivant les puissances de — » et Ton obtient ainsi la formule /-, la I a^ i .1.3. . .('}.p — 3) aP

qui donne le développement de ^x^ — a, lorsque j: est ';> ^a. Lorsque x <^ ^ \/'a, la série est encore convergente et a pour somme — ^x'-^ — a. Cette formule peut servir à trouver le développement de la racine carrée d'un nombre entier, lorsque Ton connaît le carré parfait immédiatement supérieur.

181. Fonctions majorantes. — Les propriétés déjà démontrées établissent une grande analogie entre les polynômes et les séries entières. Etant données plusieurs séries entières/, (j?),y2(x), . . . , fn{^)j s»oit ( — r, H- r) la plus petite des régions de convergence de ces séries; pourvu que |^| < r, ces séries sont absolument convergentes et Ton peut les combiner par addition et multiplication, comme des polynômes. D'une façon générale, tout polynôme entier en /i(x), /2{x), . .., /,i{x) peut être développé en une série entière convergente dans le môme intervalle.

Pour étendre ces propriétés, nous délinirons d'abord certaines expressions, qui seront employées j)ar la suite. Soit/(:r) une série entière

/(T) — a^) -^- fj i X ^ ■ a^x^ — . . ^ " anX" ^ . . .

et "^(x) une autre série entière convergente dans un intervalle convenable

dont tous les coefficients a/ sont positifs. On dit que la fonction ^{x) est majorante pour la fonction /(j;) si l'un quelconque des coefficients a„ est supérieur à la valeur absolue du coefficient

correspondant de /(x)

d'après une notation proposée par M. Poincaré, on indique ainsi cette relation entre les deux fondions /(;r) et <f{x) :

f(x) -oix).

Uutilitë des fonctions majorantes dans les raisonnements tienl à la propriété suivante, qui est une conséquence immédiate de la définition. Soit Prt(«oi ^o ••• ^n) un polynôme dépendant des n -f- 1 premiers coefficients de f{x)^ et dont les coefCcienls sont réels et positifs; si Ton remplace dans le polynôme a^, «1, . , . Un par les coefficients correspondants de la fonction majorante ^(^)7 on a évidemment

|P(ao, a,, .... art)|^P(ao, «j, ..., a^).

Par exemple, si ^(x) est une fonction majorante poury(j:), la série qui représente ['f (^)]^ sera majorante pour [y^(^)]^i . » . et, en général, [?(^)]'' sera majorante pour [/{^)]"- De même, si ç et Çi sont des fonctions majorantes pour / et /i respectivemenl, le produit <p<pj sera une fonction majorante pourri, ....

Étant donnée une série entière /(^) convergente dans l'intervalle ( — R, -hR), la recherche d'une fonction majorante est un problème d'une grande indétermination. Mais il y a intérêt, pour la suite des raisonnements, à choisir une fonction majorante aussi simple que possible. Soit r un nombre positif inférieur à R, mais aussi voisin de R qu'on le voudra. La série étant absolument convergente pour X = Py soit M la limite supérieure de la valeur absolue des termes de cette série; on a, quel que soit n,

La série dont le terme général est M — » c'est-à-dire ., X Mx" M