I. — SERIES ENTlàllES A UNE VARIABLE

est donc une fonction majorante pour f{x); c'est celle dont on se sert le plus souvent. Lorsque la série /(x) ne présente pas de terme constant, on peut de même prendre pour fonction majorante la fonction

On peut prendre pour r un nombre quelconque inférieur à R, et il est clair que le nombre correspondant M diminue en général avec r, mais ne peut jamais être inférieur à Aq, si Aq n'est pas nul. Lorsqu'il en est ainsi, on peut toujours trouver un nombre

positif p < R, tel que la fonction — ~ soit majorante pour /(j;).

En eflet, soit

M-hMÎ-t-M^ -+-...-4-M — -h..., r r* r'*

oùM>Ao,une première fonction majorante. Prenons un nombre p inférieur ^ ^ i^t on peut écrire, en supposant n^ i,

la«p"| = |a„r-|x(j)''<MP(P)"~'

et par suite |a/ip"| < Aq; d'ailleurs, on a |ao| = Aq. La série

Ao-t- Ao 1- Ao — r -h. . .H- Ao —

est donc majorante pour f{x)\ cette propriété nous servira tout à l'heure. Plus généralement, on peut prendre pour M un nombre quelconque supérieur ou au moins égal à Aq.

On verra de la même façon que, dans le cas où «©= o, on peut prendre pour fonction majorante une expression de la forme

où [X est un nombre positif arbitraire.

Remarque, — La connaissance d'une progression géométrique décroissante comme fonction majorante permet aussi de se rendre compte de G. a8

rapproximation obtenue quand on remplace la somme f{x) de la série

par la somme des n + 1 premiers termes. Si la série est majorante

pour /(a:), il est évident que le reste de la série proposée

est moindre en^aleur absolue que le reste correspondant de la série

c*est-à-dire que M •