Substitution d'une série dans une autre série. — Soit

(i5) z ^f(y) :-= ao-^«ir^- •••-+- ««r''-^--"

une série ordonnée suivant les puissances d'une variable y, et convergente pourvu que Ton ait \y\ < R. Soit, d'autre part,

(i6) y = o(^) — ^o-H^iX-i-...-f-6«a'«-h.. .

une autre série convergente dans l'intervalle de — r à -h r. Imaginons qu'on remplace, dans la série (i5),y, y^, ^', • • • par leurs développements en séries ordonnées suivant les puissances de jf, déduits de la formule (i6); nous obtenons de cette façon un tableau à double entrée

\bxX -k-'iaibabxx -h. . .-h /la^^y"* 6iX -h. . .

et nous allons chercher si ce tableau à double entrée peut être absolument convergent. Il faut d'abord que la série obtenue en prenant les termes de la première ligne, c'est-à-dire

«0 -h ai 60 H- «j 6 J H- . . . ,

soit absolument convergente, ou que l'on ait |6o|<R- Cette condition est suffisante. En effet, si elle est remplie, on peut prendre pour fonction majorante de <p(.r) une expression de la