I. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

forme ■ ^ > où m est un nombre positif quelconque supérieur

à |6o|î et où p <[ /•; on peut donc supposer que Ton a pris m < R. Soit R' un nombre positif compris entre m et R; la fonction /(^) admet elle-même pour fonction majorante une expression de la forme

'-ff

Si dans cette dernière série on remplace y par > et qu'on

P développe les diverses puissances de y suivant les puissances

croissantes de x par la formule du binôme, on obtient un nouveau tableau à double entrée

^, .... . /iM{ -- ) R p \H7 p

(*8) { ^. m X ^. / rn\^ X

dont tous les coefficients sont positifs et supérieurs aux valeurs absolues des coefficients correspondants du tableau (17), car un coefficient quelconque du tableau (17) se déduit des coefficients a©, ai, «2» • ••> ^Oî ^1)^2 • • M psir ^es additions et des multiplications seulement. Si donc la série double (18) est absolument convergente, il en sera de même a fortiori de la série double (17). Si dans la série ( 1 8) on remplace x par sa valeur absolue, il faudra, pour que le tableau soit convergent, que les séries obtenues en prenant les termes d'une même colonne soient convergentes, c'està-dire que l'on ait \x\ < p. Cette condition étant remplie, la somme des termes de la (n -+- i)»^''»<= colonne est égale à

et il faudra en outre que l'on ait aussi

c'est-à-dire

La dernière inégalité (19) entraînant la précédente |j:|<p, il s^ensuit qu^elle exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la série double (18) soit absolument convergente. La série double (17) sera donc aussi absolument convergente pour les valeurs de x satisfaisant à celte condition; remarquons que toutes ces valeurs de x rendent convergente la série ç(^), et que la valeur correspondante de y est moindre que R' en valeur absolue, car les inégalités

entraînent l'inégalité |çp(j;)| < R'. Si l'on fait la somme de celte série (17) en ajoutant par colonnes, on trouve

c'est-à-dire /[cp(^)]; au contraire, si l'on ajoute par lignes horizontales, on obtient une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x^ et l'on peut écrire

(20) /[?(^)] = Co-hCiar-t-Cja:»-!-.. .-f- Cnar^-h. . .,

les coefficients Co, ^1,^2» • • • s'exprimant au moyen des coefficients des deux séries par des formules faciles à établir

, ^ . Cl — ai6i-l- aaj^i^o-h. . .-4- na„6j~*6i-4-. . .,

(21) < cj = ai6j-h ai(6jH- a^o^j) ^-•- -7

La relation (20) n'est établie que pour les valeurs de x qui satisfont à l'inégalité (19), mais ce n'est là qu'une limite inférieure de l'intervalle où celte relation est applicable. Il peut se faire qu'elle subsiste dans un intervalle beaucoup plus étendu. C'est une question dont la solution complète exige l'étude des fonctions d'une variable imaginaire et qui sera reprise plus tard.