SERIES ENTlàRBS A UNE VARIABLE

Cas particuliers. — i** Le nombre R' qui figure dans l'inégalité (19) pouvant être supposé aussi voisin de R qu'on le veut, il s'ensuit que la formule (20) s'applique pourvu que Ton

ail 1^1 < pf I — ^ j • Cela posé, si la série (i5) est convergente,

quel que soit y^ on peut supposer R infini, et p aussi voisin de r qu'on le voudra. La formule (20) sera donc applicable pourvu que Ton ait |j?|<;r, c'est-à-dire dans le même intervalle que la formule (16). En particulier, si la série ^{x) est convergente quel que soit X, comme f{y)^ on peut aussi supposer r infini, et la formule (20) subsiste quel que soit x.

2** Lorsque le terme constant b^ de la série (16) est nul, on peut prendre comme fonction majorante de ^{x) une expression de la forme

où p<^r, m pouvant être quelconque. En raisonnant comme dans le cas général, on démontrera que la formule (20) est applicable, pourvu que l'on ait

R' étant aussi voisin de R qu'on le voudra. L'intervalle fourni par cette dernière inégalité est plus étendu que celui qui est donné parla condition générale (19).

Ce cas particulier se présente fréquemment dans la pratique. L'inégalité |6o|<Rest alors satisfaite d'elle-même, et le coefficient Cn ne dépend que de ao? ^i ^ • • • » ^n-i ^o? ^u • • • ? ^n-

Co = ao, cx — a^bx, Cj = ai^jH-aj 6}, ..., c^ = a,6„ -f-. . .-h a„6f.

Exemples. — r Cauchy a montré qu'on pouvait déduire la formule du binôme du développement de log(i-+-a7). On peut écrire en effet

(i-ha7)|i= el^'o^C»-^--^» = ey=s r^- Z 4. Z

en posant

ce qui donne, en substituant le second développement dans le premier,

Il est clair qu'en ordonnant le second membre suivant les puissances de Xf on obtient pour coefficient de x^ un polynôme de degré n en ji, soit Prt(fJi). Ce polynôme doit s'annuler pour {jl = o, i, 2, . . ., n — i et se réduire à l'unité pour fji = n, ce qui suffît à le déterminer

2* Soil z = (î-hx)'^, X étant compris entre — i et h- i. On peut écrire

en posant

y= -log(n-a:) = i— •- -h — — ...-h(— i)«

X 2 3' n-hi

Le premier développement est valable quel que soit^; le second n'est valable que si |^| < i. La formule obtenue en substituant le second développement dans le premier s'appliquera donc aux valeurs de x comprises entre — i et -*-i.

En se bornant aux deux premiers termes, on a

(24) {i-i-xy

Lorsque x tend vers zéro par valeurs positives, (iH-ar)* tend donc vers e en croissant.

183. Division des séries entières. — Considérons d'abord Finverse d'une série entière commençant par l'unité

et convergente dans Tintervalle ( — /*, -f- /')• Posons

y = bix -h bfX^ -{- . , . j on peut écrire

/(^)= r^Tp =ï— r-t-r'-J^'-^-'et, en substituant ie premier développement dans le second, on