II. — SÉRIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARUBLES

représentent donc, à des facteurs numériques près, les valeurs des dérivées partielles de la fonction F(a:, y) pour x =y = o, et la formule (33) peut encore s'écrire

(34) F(:r, y) = Z^ ^ ^^-^ X'^yn

ce qui montre, remarquons-le en passant, qu'une fonction de deux variables ne peut être développée en série entière que d'une seule façon. Si l'on groupe ensemble tous les termes de la série double du même degré en x et y, on obtient une série ordinaire que l'on peut écrire

o„ étant un polynôme homogène de degré n en x^ y, que l'on peut écrire, sous forme symbolique,

ce développement est donc identique à celui que fournirait la formule de Taylor (n** 51).

Soient (xo, jKo) "i^ point à l'intérieur du rectangle R, et (.ToH- A, yo-h /^') un point voisin tel que l'on ait |j:o| + l'H <^ '» Ij^oI -H 1^1 < p; à l'intérieur du rectangle formé par les quatre droites

x=Xi,dz[r—\xo\]y y =yo±i[p — \yo\]y

la fonction F(j:, y) peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances positives de x — Xq et de y — ro?

On le démontre en remplaçant, dans la série double

2a,;,„(To-t-/0'"(jo-hA)'S

chaque terme par son développement suivant les puissances de h et de A" et observant que la nouvelle série multiple est absolument convergente, sous les hypothèses qui ont été faites. En ordonnant

cette nouvelle série suivant les puissances de h et de Xr, on arrive précisément à la formule (36).

Le lecteur vérifiera aisément que les raisonnements et les théorèmes précédents s^étendent d'eux-mêmes aux séries entières à un nombre quelconque de variables.

186. Fonctions majorantes. — Étant donnée une série entière à n variables f{x^ y^ ^^ • • •)» ^^^^ dirons qu'une autre série à n variables ç(^, y, 5, . . .) est majorante pour la première, si un coefficient quelconque de <p (a:, y , ^, . . . ) est positif et supérieur à la valeur absolue du coefficient correspondant de/{x^ y^ z^ . , .). Le raisonnement du n* 18S repose en réalité sur l'emploi d'une fonction majorante; si la série '^\amnX^y"\ est convergente pour a: == r, ^ = p, la fonction

ou M est supérieur à tous les termes de la série 2|a,„;,/'"p''|, est une fonction majorante pour la série Y^amn^^y'^' L^i fonction

est aussi une fonction majorante; car le coefficient de ^'"/* dans i({x^ y) est égal au coefficient de ce même terme dans

M( ^ ) e^ P^^ conséquent est au moins égal à celui

de x^y^ dans o(^x^y).

De même, étant donnée une série triple

/(^, y, ^) = ^a,nnp3C'»'y''ZP,

si elle est absolument convergente pour x:=^ r^ y ^= r^ , s = ' » r, r', /•" étant trois nombres positifs, elle admet pour fonction majorante une expression de la forme