II. — SàRIBS ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

que l'on peut remplacer encore par Tune quelconque des suivantes M M

Lorsque /(x,^, z) ne renferme pas de terme constant, on peut prendre aussi pour fonction majorante l'une ou l'autre des précédentes, diminuée de M.

Le théorème sur la substitution d'une série entière dans une autre série entière (n° 182) s'étend aux séries à plusieurs variables. Si dans une série entière convergente à p variables y^^ y 'il • • «î y?^ ^^ remplace ces variables par p développements en séries entières à q variables Xt, X2, . • . , ^^, ne présentant pas de termes constants, et convergentes, le résultat de la substitution peut être mis sous forme d*une série entière ordonnée par rapport aux puissances de :r, , Xj, ..., Xqy pourvu que les valeurs absolues de ces variables soient inférieures à certaines limites.

La démonstration étant la même, quel que soit le nombre des variables, nous nous bornerons, pour fixer les idées, au cas particulier suivant. Soit

(37) f(7>'5)= ^a^nny^'Z"

une série entière convergente pourvu que l'on ait |y|$r, j^lSr'; soient d'autre part

I y = bxx ^ b^x^-^, . .^ bnxn-\-. . ., (38)

deux séries, sans terme constant, convergentes tant que la valeur absolue de x ne dépasse pas p. Dans un terme quelconque de la série (3^) remplaçons y el z par leurs développements en série (38); nous obtenons pour y"» ^'* une nouvelle série entière en Xj et la série double (3^) est remplacée par une série à triple entrée dont tous les coefficients se déduisent des coefficients amn^ b,i^ Cfi ps^r des additions et des multiplications seulement. Il s'agit de montrer que cette série à triple entrée est elle-même absolument convergente pourvu que la valeur absolue de x ne dépasse pas une certaine limite, et qu'on peut par conséquent l'ordonner suivant les puissances croissantes de la variable. Remarquons,

pour cela, qu'on peut prendre pour fonction majorante de/(/, z) la fonction

et pour fonction majorante des deux séries (38) une expression de la forme

-^-"=*iKfr

M et N étant deux nombres positifs. Si dans la série double (Sg) on remplace maintenant^ et z par le développement (4o) et qu'on développe chacun des produits j^'"^" suivant les puissances de J, la série à triple entrée obtenue a tous ses coefficients réels positifs et supérieurs aux valeurs absolues des coefficients correspondants de la série à triple entrée déjà obtenue. Il suffira donc de démontrer que cette nouvelle série est convergente, quand on donne à x une valeur positive assez petite. Or, si Ton ajoute les termes provenant du développement d'un même terme de la série (Sg), on retrouve la série à double entrée dont le terme général est

c'est précisément, au facteur M près, le terme général de la séné obtenue en multipliant terme à terme les deux séries

et ces deux séries sont convergentes pourvu que l'on ait à la (ois

il suffira donc que la valeur absolue de x soit inférieure au p''*^