COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES

187. Fonction implicite d'une variable. — On a déjà établi (p. 4o et suiv.) l'existence des fonctions implicites, sous certaines conditions de continuité. Lorsque les premiers membres des équations considérées sont développables en séries entières, on arrive à des résultats plus précis, que nous allons maintenant exposer.

Soit ¥{x, y) = o une équation où le premier membre peut être développé en série convergente, ordonnée suivant les puissances croissantes de x — Xo^y — yo^ cette série ne présentant pas de terme constant, et le coefficient de y — y^ n'étant pas nuL Cette équation admet une racine, et une seule, qui tend vers yo lorsque x tend vers Xq, et cette racine peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances de X — Xq,

Afin de simplifier les calculs, supposons ^û::=^o = o, ce qui revient à déplacer l'origine. En isolant dans un membre le terme du premier degré enj^, on peut écrire l'équation proposée

(40 r =/(-^i /) = «loJ?-^-«2o^*-Ha|l^r-^-«oJ7*-+-•••»

les termes non écrits étant d'un degré supérieur au second. Nous allons d'abord montrer qu'on peut satisfaire formellement à Téquation (4i) en remplaçante^ par une série

et en opérant sur le second membre comme si cette série était codvergente. On trouve, en effet, en identifiant les deux membres, après la substitution effectuée, les conditions

d'une manière générale, Cn s'exprime au moyen des coefficients a/Aï oùi-h Ar^/i, et des coefficients précédents C|, Cj, ..., Cn-\ P^r d^s additions et des multiplications seulement, de sorte que nous pouvons écrire

(43) Crt= P/t(aio, «îo> «II, •••> «on),

P,i étant un polynôme dont tous les coefficients sont des nombres entiers positifs. La légitimité des opérations précédentes sera établie, si l'on démontre que la série (43) ainsi obtenue est convergente pour des valeurs de x suffisamment petites. On se sert pour cela d'un artifice très général, dont la première idée est due à Cauchy, et qui repose sur l'emploi des fonctions majorantes.

Soit

une fonction majorante pour /(a:, y), où Ton a 600= 6oi = o, et où bmn est positif et au moins égal à |am;i|; si l'on considère l'équation auxiliaire

(40' Y = (p(:r, Y)=26;,,„ir'«Y«,

et que l'on cherche, comme plus haut, à satisfaire à cette équation en prenant pour Y une série entière en x^

(42)' Y = C,a: H- G,ar«-h. . .-+- G;ia:«-h. . .

on obtiendra de même pour les coefficients C|, C^, ..., les

valeurs

Cl = ^jo, G, = 6,0-H 611C1-1- èojCJ,

et en général

(43)' C«=P„(6,o, 6,0, ..., bon)'

La comparaison des relations (43) et (43/ nous montre aussitôt que l'on a |c«| < C^, puisque tous les coefficients du polynôme P» sont positifs et que l'on a \amn\ = hmn' La série (42) sera donc

m. — FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES. 449

convergente si la série (4^)' est elle-même convergente. Or nous pouvons prendre pour la fonction majorante o{Xj Y) une expression de la forme

M, r, p étant trois nombres positifs, el Téquation auxiliaire (40' devient, en chassant les dénominateurs,

«Y Mo» 7-

Cette équation admet une racine qui est nulle pour x = o; cette racine a pour expression

P' ?' A /, 4Mrp^M) r

2(p-i-M) 'j^-tp^-M)! y p* ^ X

la quantité sous le radical peut s^écrire

en posant

et Ton a encore

Cette racine Y peut donc être développée en série convergente dans l'intervalle ( — a, -H a); ce développement est forcément identique à celui que fournit la substitution directe, c*est-à-dirc au développement (i'^y - Par suite, la série (4^) est a fortiori convergente dans l'intervalle ( — a, -t- a), mais ce n'est là qu'une limite inférieure de l'intervalle de convergence qui peut être beaucoup plus étendu.

D'après la façon même dont on a obtenu les coefficients d, il est évident que la somme j' de la série (42) satisfait à l'équa- G. 29

45o CHAPITRE IX. — SÉRIES ErmÈRES. SERIES TRIGONOMÉTRIQUBS.

lion (40- Écrivons cette équation F(Xj y)=y — /(x, y) = o^ et soit y=P(x) la racine que nous venons d'obtenir. Si l'on pose, dansF(a:,y),y = P(^) 4- z et qu'on ordonne le résultat de la substitution suivant les puissances de x et de z^ tous les termes doivent être divisibles par z^ puisque ce résultat doit être nul, quel que soit x^ quand on fait ^ = o. On a donc identiquement

Q(j:, z) étant une série entière en x etz, et si l'on remplace maintenant .s par ^ — P(^) d^i^s Q(^, 5), on arrive en définitive à

ridentilé

le terme constant de Qi doit être égal à l'unité, puisque le coefficient de j^ doit être égal à un, et nous pouvons écrire

(44) F(a7,7)=[^-P(x)](i4-aa7-h?^-4-...).

Cette décomposition de F{x^y) en un produit de deux facteurs est due à M. Weierstrass. Elle met en évidence la racine jK = P('^)î elle montre de plus qu'il n'y a pas d'autre racine de F(a:,/) = o s'annulant avec x, puisque le second facteur ne tend pas vers zéro lorsque a: etj^ tendent vers zéro.

Remarque, — La méthode précédente pour déterminer les coefficients c« est identique au fond à celle qui a été indiquée au n** 46. Mais on voit de plus que la série obtenue en prolongeant indéfiniment les opérations est convergente.

188. Théorème généraL — Considérons maintenant un système de/? relations entre p -\- q variables

,,.^ ) F,(x,, x„ ..., j-^; Yuyi, ..., r/>)=o.

où les fonctions F<, Fj, . . ., F^ sont nulles pour ar,= ja=o, et sont développables en séries entières dans le voisinage; nous sup-

posons de plus que le déterminant fonctionnel ^^^ "^' ...!">>) ri est pas nul pour ces valeurs. Dans ces conditions, les équa-

m. — FONcnoNS mpua-ns, gocrrbs et surfaces analytk^urs. 45i

lions (45) admettent un système de solutions^ et un seul, de la forme

?M ?2> • • • > ?p ^'^û/i/ rf^5 séries entières en Ti, x^, . . . , jr^, ^'ai s* annulent pour Xi = X2 = -'• *=^ Jrq=^ o.

Pour simplifier l^écriture, bornons-nous au cas de deux équations entre deux fonctions u et v et trois variables indépendantes x^ y, Zf

( \'^— au-^-ov-^-cx-^- a y -f- r >5-i- . . , = o.

Puisque le déterminant ab' — 6a' n'est pas nul, par hypothèse, on peut remplacer les deux équations (46) par deux équations de la forme

'^^ \ S^ =^b,nnpqrT"^y''zPunvr^

les seconds membres ne renfermant pas de termes constants, ni de termes du premier degré en u et v. On démontre, de la même façon que plus haut, que l'on satisfait formellement à ces équations en prenant pour w et ^^ des séries entières en x^ y, z

(48) u = 'Lciu^^y'^zi, V = Zc'ikixfyf^z',

les coefficients Ciki et c)f^l se déduisant des coefficients amnpqr et bmnpqr par des additions et des multiplications seulement. Pour établir la convergence de ces développements, il suffit encore de les comparer aux développements analogues obtenus en cherchant à satisfaire aux deux équations auxiliaires

M ^J lJ-hV\

M, r et p étant des nombres positifs dont on a déjà expliqué la signification. Ces deux équations auxiliaires se réduisent à une équation unique du second degré

2 p -h 4 Al __ x-\-y -h z r

qui admet une racine nulle pour x •=^y = 5 = 0. Cette racine a pour expression

4(p-^2M) 4(p-^2M}\/ x-hy-i-z

Celte racine peut être développée en série entière convergente, tant que les valeurs absolues de x^y^ z ne dépassent pas x- Les séries (48) sont donc convergentes entre ces limites.

Soient Ux et v^ les solutions développables des équations (47)* Si l'on pose m = W| -1- u\ v = v^-^- r' et qu'on substitue dans les équations (47)» puis qu'on ordonne suivant les puissances de -r, y^ z, w', ç»', tous les termes devront contenir w' ou v' en facteur. Il s'ensuit qu'en revenant aux variables x^ y^ 5, w, v, les équations proposées peuvent s'écrire

,, V ( (u—ni)f-^{v-Vi)o =0,

ff ?) /m ?« étant aussi des séries entières en x^y^ s, w, ^. Les solutions M= W|, i' = P| sont ainsi mises en évidence; mais on voit de plus qu'il n'j a pas d'autres solutions s'annulanl pour X =^y = -3 = o. En effet, toute autre solution des équations (4;/ doit annuler/'^, — ç/i ; or, en comparant les équations (47) et {^'j)' 'i on voit que le terme constant dans y* et cp« est égal à l'unité, tandis qu'il est nul dans/i etc. On ne peut donc pas satisfaire à l'équation /cpi — q/, = o en prenant pour u et v des fonctions qui s'annulent pour x =y =z z = o.