Formule de Lagrange. — Soir

une équation où la fonction f (/) est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de ^ — a, tant que la valeur absolue de^ — a ne dépasse pas une certaine limite,

d'après le théorème général du n" 187, cette équation admet une racine, et

m. — FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES. iSZ

une seule, qui tend vers a lorsque x tend vers zéro, et cette racine est représentée, pour les valeurs de a: suffisamment petites, par la somme d'une série entière convergente

^ = a -h ai jr -4- Oja"' -f- . . . .

Plus généralement, si/(^) est une fonction développable suivant les puissances positives dey — a, après y avoir remplacé j^ par le développement précédent, on aura pour/(^) un développement ordonné suivant les puissances de x^ qui sera encore valable pour les valeurs de x comprises entre certaines limites, '

(5o) /(y) ^/{a) -h \iT -h A,arï-^-. . .H- A^ar^-f-. . ..

Le but de la formule de Lagrange est précisément de donner l'expression des coefficients Ai, As, ... An? ••., en fonction de a. Remarquons que ce problème n'est pas essentiellement distinct du problème général; le coefficient A^ est, au facteur ni près, la dérivée /i''-'*"', pour ar = o, de /(j), jr étant définie par l'équation (49)» et celle dérivée peut être calculée par l'application des règles connues. Le calcul parait compliqué, mais on l'abrège beaucoup, grâce aux remarques suivantes de Laplace {voir Ex. n° 8, Chap. 11). Les dérivées partielles de la fonction^ définie par l'équation (49)» p^r rapport aux variables x et a^ sont données par les formules

on en déduit immédiatement la relation

au du

en posant u =/(y). D'autre part, F(y) étant une fonction quelconque de^, on vérifie immédiatement par la dillérenlialion que l'on a

car chacune des dérivées développée a ppur expression

Cela posé, nous allons montrer que l'on a, quel que soit le nombre entier n.

â'^u dx'

La loi est vraie pour /i = i, d'après la formule (5i); pour établir qu'elle est générale, supposons-la établie pour une certaine valeur de n. On en

déduit

Mais on peut écrire, en utilisant les relations (5i) et (5i^''^),

âx

[t<^>-sj=.4[t<^)-ë]-sh<-)-ë]^

OQ a donc bien

dx"+

1 da« [ ^«J

et la formule est vraie pour toute valeur de n.

Supposons maintenant x = o\ y se réduit k a, u k /(a) et la dérivée n''"** de u par rapport à x devient

La formule de Taylor nons donne donc pour le développement de /(y)

<5») ^ ^« rf«-.

Telle est la formule célèbre due à Lagrange; elle donne Texpression de la racine y qui tend vers a lorsque x tend vers zéro. Nous verrons plus tard entre quelles limites cette formule est applicable.

Remarque, — Il résulte aussi du théorème général que la racine/, considérée comme fonction de x et de a, peut être représentée par une série double ordonnée suivant les puissances de x et de a. On obtiendrait cette série double en remplaçant chacun des coefficients A» par son développement suivant les puissances de a. On déduit de là qti'il est permis de différentier terme à terme la série (5a) par rapport au paramètre a.

Exemples. — i° L'équation

(53) y = a^^(jr*-i)

admet une racine égale à a pour x = o, La formule de Lagrange donn pour le développement de cette racine

^^^^ ^ I /xy rf^-*(g«-i)«

des

d'autre part, en résolvant l'équation (53), on a pour expressif**

m. — PONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES. 4^5 racines

y = - zh — /i — 2ax-i- x*,

cl, pour avoir la racine égale à a pour jr = o, il faut prendre le signe — , En différentiant par rapport à la variable a les deux membres de l'équation (54)t on parvient à une formule qui ne diffère que par les notations de la formule (3a) obtenue plus haut (n** 184). 2* L'équation de Kepler

(55) a = a -h e sin w

admet la racine u = a pour e = o. La formule de Lagrange donne pour le développement de la racine qui tend vers a

,.^x • . e^ d . . ^ ^ c" €/'»-» (sin" a)

(56) u=za-\-e siua H -> - (sin*a)-h. . .h r — — -^ -h. ...

i,^ da^ 1,1.., n da'^~^

Laplace a démontré le premier, par une analyse savante, que la série précédente est convergente pourvu que e soit inférieur à la limite 0,662743.... 190. Inversion. — Soit

(67) ^ = aiar-hajar*-4-.. .H- «hJ?'*-)-. ..

une série convergente dans l'intervalle (— r, h- r), où le premier coefficient ax n'est pas nul. Si l'on considère dans l'équation (57)^ comme la variable indépendante, et x comme une fonction de y, cette équation admet, d'après le théorème général (n° 187), une racine et une seule qui tend vers zéro avec^, et cette racine est développable en série ordonnée suivant les puissances de^

(58) a: = ^1^ -+- ^i^*H- ^3j^'-^. . .H-^rt^»-!-

Les coefficients 61, b^^ 63, ... se déterminent aisément de proche en proche en remplaçant x par son développement dans la formule (57) et écrivant qu'on a une identité. On trouve ainsi

ax a\ a\

on peut aussi obtenir l'expression générale des coefficients bn au moyen de la formule de Lagrange. Si l'on pose en effet

'^{x) — ax-^ a^x -^ . , .-¥- a,t^'»-*-+-.. ., l'équation (67) peut s'écrire

et la formule de Lagrange donne, pour le développement de la racine qui

456 CHAPITRE IX. — SERIES ENTIl^RES. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQIIES.

s'annule avec^,

__ I y* rf'»-» / I \^

Tindice o indiquant qu'on remplace x par o après les dififérentiations.

Le problème précédent était connu autrefois sous le nom de problème du retour des suites,

191. Fonctions analytiques. — Nous appellerons par la suite fonction analytique toute fonction d'un nombre quelconque de variables x^ y^ Zj ..., qui, dans le voisinage d'un système de valeurs ^05 JKo> ^o, ..., peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances àe x — oToj y — y^i ^ — ^o? • • •» et convergente tant que les valeurs absolues de ces différences ne dépassent pas certaines limites (les valeurs x^, y^^ Zq pouvant d'ailleurs être soumises à certaines restrictions, que nous n'examinerons pas ici). De l'étude qui vient d'être faite dans ce Chapitre, il résulte que ces fonctions naissent en quelque sorte les unes des autres. Étant données une ou plusieurs fonctions analytiques, l'intégration ou la différentiation, et les opérations algébriques, telles que multiplication, division, combinaison par substitution, etc., conduisent à de nouvelles fonctions analytiques. Il en est de môme des fonctions obtenues par la résolution d'équations dont les premiers membres sont analytiques. Or les fonctions les plus simples, comme les polynômes, l'exponentielle et les fonctions circulaires, étant analytiques, on s'explique aisément comment les premières fonctions étudiées par les géomètres ont été nécessairement des fonctions analytiques, et l'importance de ces fonctions apparaîtra encore mieux dans Tétude des fonctions d'une variable imaginaire et des équations différentielles. Mais, malgré le rôle fondamental des fonctions analytiques, on ne doit point oublier qu'elles ne forment en définitive qu'un groupe tout particulier dans l'ensemble des fonctions continues (*),

192. Courbes planes. — Soit AB un arc de courbe plane. Nous dirons que AB est un arc de courbe analytique si, dans le voisi-

( • ) On verra, dans le second Volume, des exemples de fonctions non analytiques, pour lesquelles la suite des dérivées est illîmiiée dans un intervalle (a, b).

m. — FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES. 4^7

nage de lout point M© de cet arc, les coordonnées {x, y) d'un point variable M peuvent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances d'un paramètre t — ^o, et convergentes tant que la valeur absolue de t — to ne dépasse pas une certaine limite

Un point Mo(x«,^-o) d'une courbe analytique est dit un point ordinaire si, dans le voisinage de ce point, l'une des différences j' — yoj X — x^ peut être représentée par une série convergente ordonnée suivant les puissances positives et croissantes de la seconde différence. Supposons, par exemple, que pour les valeurs de x comprises entre Xq — h et Xo H- A, y — ro soit développable suivant les puissances de j: — ^«

(60) ^ — /o= C|(J- — x„)-hcj(:r — J-„)'-4-.. .-T-c«(J™ — Xo)"-^.. ••

le point (xo, ^o) est un point ordinaire, et il est facile de remplacer la formule (60) par deux formules de la forme (69) : il n'y a qu'à poser

I X ~ Xsi-^ t — /01 (61)

Si C| n'est pas nul, ce qui est le cas général, on peut inversement tirer de l'équation (60) un développement de a: — x^ suivant les puissances de y — ro> valable pour les valeurs Ae y — jko dont la valeur absolue ne dépasse pas une certaine limite. Chacune des deux différences x — ^o> JK — y^ peut donc être représentée par une série convergente ordonnée suivant les puissances de l'autre. Il n'en est plus de même si le premier coefficient C\ est nul, c'està-dire si la tangente est parallèle à Ox\ on tire alors de la formule (60) un développement de x — .ro suivant les puissances fractionnaires de y — y^^ comme on va le voir un peu plus loin. On verrait de même qu'en un point ordinaire où la tangente est parallèle à Oy^ x — x^ peut être développée suivant les puissances dey — j^o> ™ais la réciproque n'a pas lieu.

Si, dans le voisinage d'un point Mq, les coordonnées x^y sont représentées par les formules (09), ce point est un point ordinaire pourvu que l'un au moins des coefficients ai, 6| soit différent de

zéro. Si, par exemple, a^ n^est pas nul, on tirera de la première formule un développement de t — l^ suivant les puissances de :t: — ^0 et, en portant cette valeur de t — t^ dans la seconde formule, on obtiendra le développement de y — y% suivant les puissances de ^ — ^o-

Observons encore qu'en un point ordinaire une courbe ne peul présenter que deux aspects diflerenls : elle peut avoir la forme habituelle., ou avoir une inflexion. Tout point non ordinaire est dit un point singulier. Si un arc de courbe analytique ne présente pas de points singuliers, on dit que c'est un arc régulier.

Supposons que, dans les formules (Sg), les deux coefficients ai et 6| soient nuls., mais que as» par exemple, soit différent de zéro. La première des formules (69) peut s'écrire

(a: -jro)^ = («—^o)[«2 -4- «3(^—^0) -+:...]*,

et le second membre est développable en série suivant les puissances de / — Iq, On déduira donc inversement de cette relation

un développement de / — to suivant les puissances de (.r — ^e)*i

et, en portant cette expression de ^ — io dans la seconde des formules (09), on obtiendra pour^ un développement de la forme

y—yo= ci(x — Xq) -\- ct(x — xo)- -h C3{x ^ XoY -h

Le point (xo^ yo) est en général un point de rebroussement de première espèce.

Le raisonnement est général. Si le développement de x — ^t suivant les puissances de t — 'Iq commence par un terme de degré n, on en déduira pour y — yQ un développement suivant

les puissances de (x — Xq)'^, On peut observer que, dans le voisinage du point (jCoj ^o)? une courbe représentée par des développements tels que (39) ne peut présenter que quatre aspects différents ; point ordinaire, point d'inflexion, point de rebroussement de première ou de deuxième espèce.

193. Courbes gauches. — Un arc de courbe gauche AB est dit analytique si, dans le voisinage de tout point Mo de cet arc, les coordonnées x^ y, z d'un point variable M peuvent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances d un