III. — FONCTIONS IMPUCITBS. COURBES BT SURFACES ANALYTIQUES

paramètre t — t^

IT = Xfi->r ax{t — ta) -\- , . ,-\-> an{t — /© )"-♦-..., Z = -5o-H Cx{t ~ Iq) -^ , , .-^ Cn{t — «o)"-i-

Un point Mo est un point ordinaire si deux des trois différences ^ — ^oj y — yoi ^ — «0 peuvent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances de la troisième.

On démontre comme plus haut que le point Mo est un point ordinaire pourvu qu'un des trois coefficients «i, 6|, c< ne soit pas nul. On obtiendra donc les points singuliers en cherchant les points pour lesquels on a à la fois

fÎT ci y dz

di="'' a=°' di^"-

Soient Xo, yoy Zo les coordonnées d'un point M© d'une courbe gauche F représentée par un système de deux équations

(63) F(:r,^, 5) = o, Fi(x,jr,z) = o,

dont les premiers membres sont des séries entières en a: — Xo, y — ^Oî ^ — ^0- Ce point M© est un point ordinaire pourvu que les trois déterminants fonctionnels

D(F, F,) D(F, FQ D(F, F.)

ne soient pas nuls à la fois pour x = Xo, y =yo9 z = Zq, Si, par

exemple, le déterminant ^, ' — -- n'est pas nul au point Mo, on

tirera des équations (63) des développements en séries entières pour X — x^ et ^ — y©» ordonnées suivant les puissances de

194. Surfaces. — Une portion de surface S est analytique si, dans le voisinage de tout point M© de cette surface, les coordonnées X, y, Zj d'un point variable M peuvent être développées en séries entières à deux paramètres variables t — Iq, u — Woj

IX — Xo= ai»(^ — Iq) -{- aQi{u — Mo) -+-.-., y —yo= bio(t — to) -h boi(u — Uo) -h . . . y z ~ Zo= Cio(t — ti,)-h Coi(w — Mo)-i-.. .,

46o CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

ces séries restant convergentes tant que les valeurs absolues des différences t — ^oj w — Uq ne dépassent pas certaines limites. Un point Mo de la surface S est un point ordinaire si, dans le voisinage de ce point, une des trois différences a; — oc^^y — Joï s — -o peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances entières des deux autres. Tout point Mo pour lequel les trois déterminants

Dp', z^ \){z. X) D(j\v)

ne sont pas nuls à la fois, est un point ordinaire; si l'on suppose, par fexemple, que le premier déterminant ne soit pas nul, on peut, des deux dernières équations (64), tirer t — /« ^t u — Uq^ et, en portant les valeurs obtenues dans la première, on obtient un développement de x — Xq suivant les puissances de y—Jt et oe Jû -~~ -^0*

Étant donnée une surface S représentée par une équation non résolue F(a:, y, z) = o, soient Xq, yo^ Zq les coordonnées d'un point Mo de cette surface. Si la fonction F est développable en série entière ordonnée suivant les puissances de :r — ^oj/""/»!

z — Zof sans que les trois dérivées partielles ~ — i - — > -r— soieni ^ ' à.p^, dyo dzQ

nulles à la fois, il résulte du théorème général (n** 188) que le

point Mo est un point ordinaire.

Remarque, — La définition adoptée pour un point ordinaire d'une courbe et d'une surface est indépendante du choix des aies. Supposons, par exemple, que le point Mq[xq^ yo^ Zo) soit un point ordinaire d'une surface S; les coordonnées d'un point voisin sont données alors par des formules de la forme (64)) ou

les trois déterminants J'^' ^ > ,, ^' '^ > ^^ ^' ^ ne sont pas nuls Di^ty u) l){t, u) D(/, u) ^

à la fois pour t = /o> « = «o* Une transformation de coordonnées

revient à remplacer les variables x, y^ z par trois nouvelles

variables X, Y, Z, fonctions linéaires des premières, telles que

Y = aja: H- ^^y H- Yî^ H- Sj.

Z =a3X-h psr-^Ï3^-^^3,