IV. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. - SÉRIES DIVERSES

195. Calcul des coefficients. — Nous allons nous occuper, dans les paragraphes suivants, de séries d'une nature tout à fait différente des précédentes. Les séries trigohométriques paraissent avoir été considérées, pour la première fois, par D. Bernoulli, à propos du problème des cordes vibrantes; le procédé de détermination des coefficients, que nous allons indiquer, est dû à Euler.

Soit/(a:) une fonction bien déterminée de la variable x dans un

intervalle (a, b)\ nous supposerons d'abord que les limites a el b

sont — Tt et -+-11, ce qu'on peut toujours faire, car il suffira de

j II • i I iTzx — {a-^ b)T. .

prendre pour nouvelle variable -. —- pour être ramené

à ce cas. Gela posé, si pour toutes les valeurs de x comprises entre — tt et -|- tt, on a l'égalité ci-dessous

- ( «M cos m ar H- è/,i sin 771 x ) -

«Oî ^M b\, ..., am-i bm, ..., étant des coefficients constants inconnus, l'artifice suivant s'offre tout naturellement pour déler-

miner ces coefficients. Rappelons d^abord les formules suivantes, qu'il suffit d'écrire, où m et /i sont des nombres entiers positifs,

I cosmxdx = Of si m ^ o, / sinmx dx = o,

/ cosmxcosnxdx= 1 ^^ ^ dx = o, si m^n,

r^"" , ^ r'^'^i-\-cos^mx ^

I co^^mxdx = I dx = T., si m ^ o,

J-iz J-r, ^

C^ . . , /•"'^cosC/71 — n^x — co s C m -+-/i);r , .

I sm Awa?sin/ia?aar= / — d!T = o, si m^/i.

1 sin*ma7aa:= / ax = r, si m ^ o,

/* . , /'■*"^sinr/7i H- /i):r-hsinf /n — /i)^? ,

Si nous intégrons les deux membres de Tégalité (65) entre les limites — it et -|- ir, en intégrant le second membre terme à terme, il vient

I /(x)dx = -^ I dxT=:Tzaof

égalité d'où Ton tirera la valeur de a^. Si l'on opère de même après avoir multiplié les deux membres de la relation (65) par cosm^ ou sinm^, le seul terme du second membre dont l'intégration entre les limites — -tc et +i^ donnera un résultat différent de zéro sera le terme en cos*mx ou en sm^mx, et Ton parvient aux formules suivantes

/ /{x)cosmx dx = Tza,n, j /{x)sinmxdx = Tzàm-

Nous pouvons encore écrire les valeurs obtenues pour les coefficients

bm= " I /(a)sinmarfa.