IV. — SÉRIES TRKSOXOMÉTIIIQIES. — 6RII1ES DIVERSES

Le calcul que nous venons de faire n'a que la valeur d'une simple induction. Nous avons admis, en elTel, que le développement de la fonction f{x) sous la forme (65) était possible et, en outre, que ce développement était uniformément convergent entre les limites — t: et -|- ir. Comme rien ne prouve a priori que ces conditions sont satisfaites, il est indispensable d'examiner si la série ainsi obtenue est convergente et a pour somme f{x), La somme des (m-j-i) premiers termes de cette série devient, en remplaçant les coefficients ai et bi par leurs valeurs (67) et effectuant les réductions évidentes,

5^^j __ i r /(a) - -i-co5(a — j')H-cos2(a — ar) -4-, . .H-cos/?i(a — j-) rfa.

Mais on a, d'après une formule bien connue de Trigonométrie,

sin a

— h cosa -h co9>ia -h. . .-+- co^nia — .

>. sin —

et, par suite.

Sin (a — T)

Sm-»-i=z/ /(^) 3^^r^ ^^'

2 sin —

ce que nous pouvons encore écrire, en posant ol=: x -{- a y, (68) S„,..= i f'^A.^.y) ^;^^ dy.

Toute la difficulté de la question est ramenée à trouver la limite de cette somme lorsque le nombre entier ni augmente indéfiniment. Nous supposerons pour cela que la fonction /(jc) satisfait aux conditions suivantes :

I** Elle est en général continue entre — t: et -|- tt, sauf pour un nombre^/iif de valeurs dea:, où elle passe brusquement d'une valeur à une autre de la façon suivante. Soit c un nombre quelconque compris entre — ir et -Ht^^ quel que soit ce nombre c, on peut toujours trouver un autre nombre positif h tel que/(:r) soit continue entre c — A et c d'une part, entre c et c -f- A d'autre part. Lorsque € tend vers zéro par valeurs positives, /(c -|- e) tend vers

une limite /(c H- o), et /(c — s) tend de même vers une limile /{c — o). Si la fonction /(^) est continue pour a: = c, on a évidemment/(c) =/(c + o) =/(c — o). Mais si les deux limites /(c + o) el/(c — o)ont des valeurs différentes, la fonction /(:r) est discontinue pour x = c^ei Ton convient de prendre pour/(c)

la moyenne arithmétique '^ ^ ; il est clair que celle

égalité subsiste pour un point où la fonction est continue. Nous supposons de même que/( — 11-^^)61/(71 — e) ont des limites /( — ir 4- o) et/('îr — o) lorsque e tend vers zéro en restant positif. La courbe représentée par Téquation y=f(x) doit avoir une forme analogue à celle de \dijig. 11 (p. 179), s'il y a des discontinuités. Nous avons vu que la fonction /(x) était intégrable dans tout intervalle compris entre — it et -h it, et il en est évidemment de même du produit de f{x) par une fonction continue dans le même intervalle.

2° On peut partager l'intervalle (— t:, -f- tt) en un nombre fini d'intervalles, dans chacun desquels la fonction est constamment croissante ou constamment décroissante.

Nous dirons, pour abréger, que la fonction f{x) satisfait aux conditions de Dirichlet entre — tt et -|- it. Il est clair qu'une fonction continue dans l'intervalle ( — tt, -|- tt), et qui n'admet qu'un nombre fini de maxima et de minima dans cet intervalle, satisfait aux conditions de Dirichlet.