IV. - SÉRIES TIIIGONOMÉTRIQUBS. — SÉRIES DIVERSES

Considérons d'abord Tlntëgrale définie

(69) J r= / çf(ar) dx,

OÙ h est un nombre positif inférieur à u et ç(^) une fonction satisfaisant aux conditions de Dirichlet dans Tintervalle (o, h). Si cp(a:) se réduit à une constante C, il est facile de trouver la limite de J; on peut écrire, eu efiel, en posant nx =^,

et, lorsque n augmente indéfiniment, la limite de J est par conséquent - C (n** 176, formule 39).

Supposons en second lieu que la fonction ç>(x) soit positive et décroissante deo à A. La fonction sous le signe / change de signe

pour les valeurs de x de la forme , et nous pouvons écrire l'intégrale J

J r= Mo — M,-^Mï— Ms-f-... -( — i)*W)t- . .. < — i)''*6a,rt (o:6-;i),

en posant

et en supposant la limite supérieure h comprise entre — et

. j^es intégrales Wo, w^, Woj ••• vont en diminuant; si

nous posons, en effet, dans a^, nx = kiz +^', il vient

et il est évident, d'après les hypothèses faites sur ç(^), que cette intégrale diminue lorsque l'indice k augmente. On a donc

J = Mo — Ui- { Ut — Ma) " ( w^— Ms) -f-. . ., G. 3o

ce qui montre que J est compris entre Uq et «o — Wi ; J est par suite un nombre positif inférieur à Uq, c'est-à-dire à Tintégrale

, , sinna: ,

Mais cette intégrale est elle-même inférieure à l'intégrale ?(-+-o) / —-—dx = ^{-^o) — ^^7 = Aç(-+-o),

A. désignant la dernière intégrale définie / — — dy. Le même raisonnement prouve que l'intégrale définie

J = . I (f{x) ax,

où c est un nombre positif quelconque inférieur à A, tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. Si le nombre c est compris entre (« - i) - et — > on voit en effet comme tout à l'heure que la valeur absolue de J' est inférieure à

/" , , sin/ia: , ! /• " , smnx ,

<^{x)——- dx -r-i / <p(^) — ---- dx

et, à plus forte raison, inférieure à

'S>{C) f ITZ \ ^ \ /i / Tt 9.11 <p(c) ^

C \ a I ^ i-Tz n ^ n c '

elle tend donc vers zéro lorsque n augmente indéfiniment {')• La méthode ne nous apprend rien si c :== o. Pour trouver lî>

( ' ) On arrive encore plus simplement à ce résultat en employant le second théorème de la moyenne (n« 75). La fonction <p{x) étant décroissante, oa «s d'après cette formule,

/ 9{x) - — dx = -^ — / sinnxdx=-—^ — ^ (cosnc — cosn;;»

Je -^ c J,, n C ^

et le second membre tend évidemment vers zéro.