IV. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DIVERSES
limite de rinlégrale J, prenons un nombre c compris entre o et A, tel que cp(j7) soit continue de o à c, et posons <p(^) = ^(c)+ ^(^); •i(j:) est une fonction positive et décroissante dans l'intervalle (o, c), décroissant de «f (4- o) — 'f (c) à zéro lorsque x croît de o à c. Écrivons J de la façon suivante
ou, en retranchant - 'f (h- o) des deux membres,
J- -o(-+-o) = ç(c) j ——-dx- - U-- [cp(c)-«î)(-i-o)] [ -^ / '^{or) —^ dx -^ j o{x)—^~dx.
Pour démontrer que J a pour limite -'f(-ho), il suffit de
prouver que l'on peut déterminer un nombre entier m tel que, pour toute valeur de n supérieure à m, la valeur absolue de chacun des termes du second membre soit inférieure à un nombre positif
choisi à Tavance • D'après la remarque de tout à l'heure, la
valeur absolue de l'intégrale
K^{x) dx
est inférieure à A^(-|- o) = A [cp(-i- o) — 'f(c)]. Puisque o{x) tend vers ç(-f- o) lorsque x tend vers zéro, on peut d'abord choisir le nombre c assez voisin de zéro pour que A[cp(-i-o) — ?(c)]
et ~ [?(-+- o) — ?(^)] soient inférieurs à • Le nombre c étant
choisi de cette façon, les deux termes restants ont pour limite zéro lorsque n augmente indéfiniment. On peut donc prendre n assez
grand pour qu'ils soient inférieurs en valeur absolue à -9 et l'on a
TZ
(71) lim J = - cp(-ho).
La formule précédente n'a été démontrée qu'en imposant à la fonction <f{x) un certain nombre de restrictions dont nous allons maintenant nous débarrasser. Si ^(^) est décroissante sans être
positive, on peut toujours lui ajouter une constante positive C de façon que la somme ^(^) = f (^) H- C soit positive et décroissante de o à A. La formule s'applique à cette fonction ^{x) et Ton peut écrire
r . .sinnx T* i / . sinnar r^sinnx, f cp(x) dx = I y(x) dx — Cl dx;
le second membre a pour limite -^(-l-o) C, c'est-à-dire
- ç(h- o). Si la fonction cp(x) est croissante de o à A, — ^{x) est
décroissante et Ton a
^ , s'innx , r* , . smnx ,
tf{x) ^ dx^ — j — ^{x) —^— dx;
rintégrale a encore pour limite - ç(-f- o).
Supposons enfîn simplement que la fonction o[x) satisfait aux conditions de Dirichlet dans l'intervalle (o, A). Nous pouvons partager cet intervalle en un nombre fini d'intervalles partiels (o, a), (a, b)y (A, c), . . ., (/, h) dans chacun desquels la fonction ^{x) est croissante ou décroissante. L'intégrale de o à a a
pour limite - ©(4- o); quant aux autres intégrales, telles que H = / ^{x) ^^^^^ dx,
elles tendent toutes vers zéro. Supposons, pour fixer les idées, la fonction <f{x) croissante de a à 6; nous pouvons, d'une infinité de manières, construire une fonction ^(^) croissante de o à 6, continue de o à a, et coïncidant avec ^(x) de a à fe. Les deux intégrales
j ^(^x)^-^^^dx, J ^{x)-^^^dx
ont l'une et l'autre pour limite ^(-h o) lorsque n augmente indéfiniment; leur différence, qui n'est autre que H, tend par conséquent vers zéro. La formule (71) est donc établie pour toutes les fonctions ^{x) qui satisfont aux conditions de Dirichlet dans l'intervalle (o, h).
