IV. — SERIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DIVERSES

Considérons maînlenanl Tintégrale définie

f f{x)-.- dx (o<A<7r), 0 sino?

où la fonction f{x) est positive et croissante de o à A. On peut encore écrire cette intégrale

et la fonction ^{x) T=f(^x) - — est positive et croissante de o à A; on a d'ailleurs/(-f- o) = 'f (-h o) et, par conséquent,

(73) Iiinl = -/(-^o).

La formule étant établie lorsque la fonction /(j?) est positive et croissante de o à A, on démontre ensuite de proche en proche, comme tout à Theure, qu'elle subsiste pour toute fonction /{x) satisfaisant aux conditions de Dirichlet dans l'intervalle (o, h),

197. Séries de Fourier. — Les séries trigonométriques dont les coefficients «„, et b„i sont déterminés par les formules (67) sont généralement appelées séries de Fourier. C'est, en effet, Fourier qui a énoncé le premier ce théorème que toute fonction donnée arbitrairement dans un inlervalle d'étendue air pouvait être représentée par une série de cette espèce; le mol fonction arbitraire signifiait pour lui une fonction représentée graphiquement par plusieurs arcs de courbe appartenant à des courbes que l'on regarde habituellement comme distinctes. Nous précisons cette définition un peu vague en nous bornant aux fonctions qui satisfont aux conditions de Dirichlet.

Pour démontrer qu'une fonction de cette espèce peut être représentée par une série de Fourier dans l'intervalle ( — u, +7î), il nous faut trouver la limite de l'intégrale (68) lorsque m augmente indéCniment. Partageons celte intégrale en deux autres,

ajant respectivement pour limites o et y — - et o, et

posons dans la seconde^ = — Zj nous pouvons encore écrire

c ï Z' * ^/ . s'in{im-hi)y y

sïn{im -f- 1)3