IV. — SÉEIES TRIGONOMÊTR10LE8. — SÊRIRS DIVERSES
droite, on consid^^re x comme un arc porté sur la circonférence de rayon w/i, la somme de la série en un point quelconque ni de la circonférence est la moyenne arithmétique des deux limites vers lesquelles tendent les deux sommes de la série en deux points m', m" de la circonférence, pris de part et d'autre du point m, lorsque ces points m', m'' se rapprochent indéfiniment du point m. Si les deux valeurs limites /( — t. ~\- o), /(tt — o) sont différentes, le point de la circonférence diamétralement opposé à l'origine des arcs est un point de discontinuité.
En résumé, toute fonction définie dans l'inten^alle ( — i^, h-ti) et satisfaisant aux conditions de Dirichlet peut être représentée par une série de Fourier dans cet intervalle.
D'une façon générale, soit f{x) une fonction définie dans un intervalle (a, a 4- '^'^) d'étendue 211, et satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Il existe évidemment une fonction ¥{x)^ et une seule, admettant la période itz et coïncidant avec/(^) dans l'intervalle (a, a-^sèTi); cette fonction F(a:) est représentée, pour toute valeur de x, par la somme d'une série Irigonométrique dont les coefficients a^ et bm sont donnés par les formules (6^)
am~ - I F(x) cos m xdjc^ b,n— - 1 F(x) sinmx dar.
Le coefficient «/»? par exemple, peut encore s'écrire, en supposant a compris entre iIit. — tt et a/iTt -f- 'ït,
a,n— - I F{x)cosnix dx -] — / h (x) cosmx dx;
la fonction F(x) admettant la période 271 et coïncidant a\ec f(xy dans l'intervalle (a, a + 27r), on a encore
^îAir-Hii
Ci) ■
a„,=r- / f{T)cosmxdx-~ 1 f{x)cosmxdx
I T^ — I /(x) cosmx dx.
On trouverait de même (75) ^"'^ r. I f{x)s\nmxdx.
4yi CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIERES. SÉRIES TRIGONOMÊTRIQUES.
Lorsqu'une fonction /(x) est donnée dans un intervalle, quelconque d'étendue 2tz, les formules précédentes permeltent de calculer les coefficients du développement en série de Fourier, sans qu'il soit nécessaire de ramener les limites de l'intervalle à être — TC et -|- it.
198. Exemples. — i** Proposons-nous de trouver une série de Fourier dont la somme soit égale à — i pour x compris entre — it et cet à— i pour X compris entre o et it. Les formules (67) nous donnent
ao — - / — dx -] — I dx — o,
a,„= - I — cosmxdx-\ — / cof^mxdx — Oy
, I r" . ,1 r^ . f '^ — cosmir — cos(— mir) Ofn=- I — sinmxax'i — / sinmxdx= — |
bfn est nul si m est pair, et égal à si m est impair. En multipliant tou*
les coefficients par -y on voit que la série
sinar sin3j:* sin( 2/n -+- 1)0?
a pour somme -» si rr est compris entre — ir et o, et h- - si a: est
compris entre o et 7:. Le point ^ = o est un point de discontinuité, et, pour a^ = o, la somme de la série est o, comme cela doit être. D'une façon
générale, la somme de la série (76) est égale à 7 lorsque sino; est positif,
à — - lorsque sin:r est négatif, et à o lorsque sina: = o.
La courbe représentée par l'équation (76) se compose d'une infinité de
segments de droite de longueur 7: sur les parallèles y = ±1 - k l'axe
des x^ et d'une infinité de points isolés (^ = o, j^ = kiz) sur l'axe des r. 2° Soit à trouver le développement de x en série de Fourier dans l'intervalle de o à 27:. On a
a© — - / X dx —. ir.,
»2it ,- „: ,,- . ^tir
I r^ ^ |\rsinm.r |W i T •
a,„— - I xcosmxdx— \ / smnix ax = o,
T^Jo L ^-^^ Jo niT,J^
i r^"" . ^ [xcosmxy^ I r^'^
o,„ — - I X sin mxdx = — \ H / cosmxdx- — -^
