IV. >- SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DIVERSES

On déduit de là la formule

T ^t: s'inx sinrxj" sin3:F

qui est exacte pour toutes les valeurs de x comprises entre o et ar. Si l'on remplace, dans la formule précédente, le premier membre par^, la courbe représentée par Téquation obtenue se compose d'une infinité de

segments de droites parallèles à In droite ^ — — et d'une infinité de points isolés.

Remarque, — Lorsqu'une fonction définie dans l'intervalle ( — tt, h-tt) est paire, c'est-à-dire telle que /( — a:) — /(x), tous les coefficients bm sont nuls, car on a évidemment

/f{T)s\iinix dx — -- I f{x)%\nmxdx.

Au contraire, si la fonction /(x) est impaire, c'est-à-dire telle que

tous les coefficients a,n sont nuls, y compris a©. Une fonction /(j*) étant <léfinie dans l'intervalle de o à tc seulement, on peut la prolonger dans l'intervalle de — ir à o en convenant de poser

/{-'X)^/ix) ou /(- r).= -/(a^).

La fonction /{x) peut donc être représentée soit par une série de sinus, soit par une série de cosinus, dans l'intervalle de o à ir.

199. Développement d*une fonction continue. Théorème de Weierstrass. — Soit^=y(j^) une fonction continue dans un intervalle (a, b). On doit à M. Weierslrass une proposition remarquable dont voici l'énoncé : s étant un nombre positif donné à l'avance, on peut déterminer un polynôme P(x) tel que la différence /{x ) — Pix) soit inférieure à e en valeur absolue pour toute valeur de x dans l'intervalle (a, b).

Parmi les nombreuses démonstrations proposées pour ce théorème, une des plus simples est due à M. Lebesgue ('). Considérons d'abord le cas particulier suivant. Soit ^(x) une fonction continue dans l'intervalle de — I à — I, définie de la manière suivante : pour — i^x -o, on a 4'( ^) ~ o, et pour o^xl'i, on a ^(x) = ikx, k étant un facteur constant donné. Nous pouvons écrire '^{x) — k[x -{- \x]. D'autre part, pour les valeurs de X comprises entre — i et -+-i, on a

(') Bulletin des Sciences mat héma figues p. 2-S; 1898.

474 CHAPITRE IX. -- SKRIKS KNTIÈRKS. SÉRIES TRIG0N03IÉTBIQIES.

et, pour ces mêmes valeurs de x^ le radical peut être développé en série uniformément convergente ordonnée suivant les puissances de (i— a?'); |a7|,et par suite iJ'C^), peut donc être représentée dans cet intervalle, avec telle approximation qu'on voudra, par un polynôme. Prenons maintenant une fonction quelconque continue dans l'intervalle (a, b) et imaginons cet intervalle décomposé en n intervalles partiels (ao, ai), {ai, a^), .... (a„i, an), où a = ao< ai<^j<...< a„i< a^ = 6, de façon que

l'oscillation de f(x) dans chacun de ces intervalles soit moindre que -•

Soit L la ligne brisée obtenue en joignant de proche en proche les points de la courbe y=:f{x) d'abscisses ao, «i, aj, .... b. L'ordonnée d'un point de cette ligne brisée est évidemment une fonction continue de l'abscisse cp(ar) et la différence /(ar) — (p(j7)est en valeur absolue moindre

que -• En effet, dans l'intervalle (Oja-i; a^), par exemple, on peut écrire

f{x)-<,{x) = [f{x)-f{a^^,)][x-^-^[f(x)-f{a^)]^, où a: — «(jL-i = 6(«pL — «{jL-i)' Le facteur 6 étant positif et inférieur à l'unilé.

la différence /"— 9 est moindre en valeur absolue que - d — 6-1-0)— •

Cette fonction <^(x) peut être décomposée en une somme de n fonctions analogues à la fonction ^{x) de tout à l'heure. Soient, en effet, Ao, Ai, Aj, ..., Art les sommets consécutifs de la ligne polygonale L; ©(r) est égale à la fonction continue 'i^i représentée dans l'intervalle (a, b) parla droite qui porte le côté AqAj, plus une fonction Oi représentée par une ligne polygonale A'^AJ ... A^dont le premier côté AJ^A', est sur l'axe Or; Oi{x) est à son tour la somme de deux fonctions continues 4*1 et oj dont la première, «J^j, est nulle entre a et a\ et est représentée par la droite qui porte A', A'j entre a^ et b, tandis que 9» est représentée par une ligne polygonale AJA^A'j...A* dont les sommets AJ, K\, k\ sont sur Ox. On arrive finalement à remplacer ^{x) par une somme de n fonctions cp = tj/j -I- ^{^j -t- . . . f- iJ/„, où 4»/ est une fonction continue nulle entre a et fl/, représentée par un segment de droite entre a/i et b. Si l'on fait le changement de variable X = mx -h /i, en choisissant convenablement m etn, ^i sera défini dans l'intervalle ( — i, -hi) par l'égalité

et par conséquent pourra être représentée par un polynôme avec telle approximation que l'on voudra. Chacune des fonctions 4/ pouvant être représentée par un polynôme dans l'intervalle (a, b) avec une approximation inférieure à — » il est clair que la somme de ces polynômes différera dey(a;) de moins de 6.

De ce théorème on déduit que toute fonction continue dans un intervalle {a, b) peut être représentée par une série uniformément con-