IV. — SBRIRS TRIGONOMÂTRIQUES. — SÉRIES DIVERSES

vergente de polynômes dans cet intervalle. Prenons, en effet, une suite de nombres positifs décroissants si, e^, ..., e^, ... le terme général e^ tendant vers zéro lorsque n augmente indéiiniment. D'après le théorème précédent, à chaque nombre 2/ de cette suite nous pouvons faire correspondre un polynôme P|(^) tel que la différence /(:r) — P/(a:) soit inférieure en valeur absolue à e,- dans tout Tintervalle (a, b). Cela étant, la série

est convergente et a pour somme /(a?), lorsque x reste compris dans l'intervalle (a, b). Il est clair, en effet, que la somme S,» des n premiers termes est égale à Vn{x}\ la différence /( x ) — S^, qui est inférieure à e^, tend donc vers zéro lorsque n augmente indéfîniment. D'ailleurs, la série est uniformément convergente, puisqu'on prenant n assez grand la différence/(a:) — Sn sera moindre qu'un nombre donné à l'avance pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle (a, b).

200. Fonction continue sans dérivée. — Nous terminerons ce Chapitre en donnant un exemple, dû à Weierstrass, de fonction continue qui n'admet de dérivée pour aucune valeur de la variable. Soient b une constante positive inférieure à l'unité et a un nombre entier impair; la fonction F(j:'), qui est égale à la somme de la série convergente

(78) V{t) r= ^^^cos(a»itj:).

est continue pour toute valeur de j™, car la série est uniformément convergente dans tout intervalle. Si le produit ab est inférieur à un, il en est de même de la série formée par les dérivées; la fonction F(x) admet donc une dérivée, qui est elle-même une fonction continue. Nous allons démontrer qu'il en est tout autrement si le produit ab est supérieur à une certaine limite.

Nous pouvons écrire, en désignant par m un nombre entier quelconque,

(79) T ~ rt/n-+- ^mi

en posant

R;„ = T ^^b^\cos[a^T:{x -r- h)] — cos(rt«irar)j,

Sni= T V 6"}cos[a'»7r(x-4-/t)]-- cos(a«Tra7)j.

n=zm

La formule des accroissements finis appliquée à la fonction cos(a'^T:x ) montre que la différence cos[ a" 11(^7 -f- A)] — cos(a'*Tru:) est inférieure en

valeur absolue à T-a^^lh]. La valeur absolue de R», est donc inférieure à

ab — I

(ab)^ et, a fortiori', à ir -^ .» si Ton suppose a^>i. Nous chercherons

maintenant une limite inférieure de la valeur absolue de S„{, en donnant à l'accroissement h une valeur particulière. On a toujours

a,n étant un nombre entier et Ç/^ étant compris entre et -h -• Nous

poserons

r £wi — Cm

Cfn étant égal à d: i ; il est clair que h est du même signe que ««, et infé-

rieur en valeur absolue à • Le nombre h étant choisi de cetie façon,

on a

a^Tz(x-^ h) — a«-'"a"*7r(ar-h A) — a«-'"'7r(a^-+- e,„);

a étant impair et e,„— ±:i, le produit a^^'^ioLm-^ ^m) est de même parité que a,;, -i- i et, par suite,

cos[a'*T.{x -I- h)] — ( — !)«•»»-*-».

On a aussi

ces (avilir) — cos(a«-"*a'"irx) = cos[a"-"*Tz{aLfn -^ ;/«)] r= cos(a«-"'a,„7r) cos(a«-'«$,„'ï:);

a^-"*0Lf„ est de même parité que «/« et l'on a encore

cos{a"T:x) — (— i)^m cos{a^-"*^.„Tz).

Nous pouvons donc écrire

n—ru

2 6"[i-+-cos(a«-'"U^)J;

tous les termes de la série étant positifs, la somme de cette série est supérieure à son premier terme et, par suite, à 6'" puisque ^m est compris

entre et h — • Par suite, nous avons

OU encore, en tenant compte de la valeur de A,

\S,n\>l(abr

Supposons que Ton ait

il suffira pour cela que l'on ait

(80) a^^> IH ,

et la relation (79) prouve que Ton aura alors

Lorsque le nombre entier m augmente indéfiniment, il en est de même

de cette expression, tandis que la valeur absolue de h tend vers zéro. 11 est

donc possible, quelque petit que soit un nombre s, de trouver un accrois-

Y(x -^ h) -- ¥(x} sèment h inférieur à e en valeur absolue et tel que , ^^

soit supérieur en valeur absolue à tout nombre donné à l'avance. La fonction F(x) n'a donc de dérivée pour aucune valeur de a:, pourvu que la relation (80) soit vérifiée.

1. Appliquer la formule de Lagrauge au développement, suivant les puissances de x^ de la racine de l'équation y^= ay -\-x qui est égale à a pour a? = o.

2. Même problème pour l'équation y ~ a ~\- xy"^+^ — o. Application à l'équation du second degré a — bx h- cx^ = o.

Développer, suivant les puissances de c, la racine qui tend vers y lorsque

c tend vers zéro.