I. — COURBES ENVELOPPES

2** Si p = 5 -+- C, on a p -j^ = p ; la corde NN' se réduit à la tangente au

cercle au point Q. Les deux branches de l'enveloppe sont confondues, et cette enveloppe V admet pour normales les tangentes à la courbe C; on dit que C est la développée de T, et inversement V est une développante de C {voir n° 206).

Lorsque </p > ds, la droite (i4) ne coupe plus le cercle, et l'enveloppe est imaginaire.

Caustiques secondaires. — Supposons que le rayon du cercle variable soit proportionnel à la dislance du centre à un point fixe 0. Si l'on prend ce point fixe pour origine, l'équation du cercle est

k étant un facteur constant, et la corde des contacts a pour équation

(x — a)a' -^ {y — b)b' -^ k^{aa' -^ bb') = o.

Soient 8 et 8' les distances du centre M (a, b) du cercle à la corde des contacts et à la parallèle menée par l'origine; on tire de l'équation précédente 0 = k^l'. On obtiendra donc la corde des contacts en prenant sur le rayon MO un point P tel que MP = Xr^MO et abaissant du point P une perpendiculaire sur la tangente au lieu du centre. Supposons A:<i, et soit E la branche de l'enveloppe du cercle qui est située du même côté

Fig. 4o.

que le point 0 par rapport à la tangente à la courbe C. Appelons i et r les angles que font avec la normale Ml les droites MO et MN ; on a {Jlg. 4®)

M y MQ'

sinr =

M/7 s\r\i __ Mç MQ __ i

Mi\' sm7 ~ M7 ~ MP ~" it'

Gela posé, imaginons que le point 0 soit un foyer lumineux, et que la courbe G soit la limite de séparation entre le milieu où est le point 0 et

un nouveau milieu dont l'indice de réfraction par rapport au premier soil

égal à V • Après la réfraction, le rayon incident OM se change en un rayon

réfracté MR qui, d'après la loi de la réfraction, est précisément le prolongement de NM. Tous les rayons réfractés MR sont donc normaux à l'enveloppe E, qu'on appelle la caustique secondaire par réfraction. La caustique proprement dite, enveloppe des rayons réfractés, est la développée de la caustique secondaire.

La seconde branche de l'enveloppe E' n'a évidemment aucun sens physique; elle correspondrait à un indice de réfraction négatif. Si Ton suppose A: = i, l'enveloppe E se réduit au point G lui-même, tandis que l'enveloppe E' est le lieu des symétriques du point O par rapport aux tangentes de la courbe G. Cette courbe est aussi la caustique secondaire ^ar réflexion pour les rayons lumineux issus du point O se réfléchissant sur la courbe C. On démontrera de la même façon que, si de chaque point d'une courbe C comme centre on décrit un cercle dont le rayon soit proportionnel à la distance du centre à une droite fixe, on obtient pour enveloppes les caustiques secondaires relativement aux rayons lumineux issus d'un foyer à l'infini.