II. — OOURBUBB
P et Q étant les projections du point M sur 01 et IT,
:r = 01 — IP = R<p — R sinç, j^ = MP = IC -t- GQ = R — R co9<p,
et il est facile de s'assurer que ces formules sont exactes, quelle que soit la valeur de l'angle cp. Après un tour complet, le point décrivant a décrit
Fig. 44.
Tare OBOi, et, si le mouvement se continuait indéfiniment, on aurait une infinité d'arcs égaux à celui-là.
Des formules précédentes on tire
X = R{o — sintp), dx — R{ï — cos<p)c?cp, c^^or = R sincp «/^*, /•=R(i — cos<p), t(^ = R sin <p rf<p, d^jr = Kcos^ d^*;
le coefficient angulaire de la tangente peut s'écrire
dy sincp o
-f- = ^^— = cot-^,
dx 1 — cos cp 2
ce qui montre que la tangente en M est précisément la droite MT, car, dans le triangle isoscèle MTC, l'angle en T est la moitié de l'angle extérieur MCI = <p. La normale en M est donc la droite Slf qui joint le point M au point de contact du cercle avec la droite fixe. Pour avoir l'arc de la cycloïde, nous avons la formule
ds^=i R>rfcp>[sin»çH-(i — cos«p)>] = 4R* sin«2 c?^«,
ou
o cfj = 2R sin- d^y
il l'on compte l'arc de façon qu'il augmente avec cp. On en tire, en pre-
nant le point 0 pour origine des arcs,
4r(i-cos2);
la longueur de l'arc OBOi s'obtient en faisant «p = 2tz, ce qui donne 8R. L'arc OMB, compris entre l'origine 0 et le point le plus haut B, est donc
égal à 4^1 et l'arc BM de la figure a pour expression 4Rcosï- Mais le
triangle MTG donne MT = a R cos?; on a donc arc BM = aMT. On a de même pour l'aire de la cycloïde
<^»=z I ydx= j R*(i — îcos(p-hcos*<p) ûf(p
/V/3 cosaoN ,
c'est-à-dire
<vl, = ( - «p — a sin çp H -—^ j R*;
l'aire comprise entre l'arc OBOi et la base OOi est donc égale à SttR*, c'est-à-dire à trois fois Vaire du cercle générateur. (Galilée.*)
La formule qui donne le rayon de courbure d'une courbe plane deyient
8R»sin»?-c?o«
p = = 4Rsin-î-:
aR'sin*-^ do^ a '
or le triangle MCI donne la relation MI = aRsin^* On a donc p =aMI,
et le centre de courbure s'obtiendra en prolongeant la droite MI au delà du point I d'une longueur égale à elle-même. Cette propriété permet de trouver la développée. Considérons, en effet, le cercle symétrique du cercle mobile par rapport au point I, et le point M' où la droite MI coupe ce cercle; on a évidemment M'I = MI, de sorte que M' est précisément le centre de courbure. Or on a
arcT'M'=7rR — arcIM'=7:R — arcIM = ttR~OI,
ou encore
arcT'M'= OH - 01 = IH = T'B'.
Le point M' décrit donc un arc d'une cycloïde égale à la première dont le point de rebroussement serait en B' et le sommet en O. Lorsque M décrit l'arc BOi, le point M' décrit un autre arc symétrique du premier par rapport à BB'.
