MN

MP y

coso a

Le rayon de courbure de la chaînette est donc égal à la normale MN; il serait facile d'en déduire la développée. L'arc AM de la chaînette est

égal à

ce qui peut encore s'écrire * =^sin«p; si du point P on abaisse une perpendiculaire Vm sur la tangente MT, le triangle PM/n donne

Mm = MP sin<p = s,

L^arc AM est donc égal à la longueur Mm.

209. Tractrice. — La courbe décrite par le point m est appelée tractrice; c'est une développante de la chaînettCi ayant un point de rebroussement en A. La tangente en m à cette courbe est précisément la droite mP; mais le triangle MPm donne aussi /nP =^ cosçp = a, de sorte que la longueur /nP de la tangente à la tractrice, comprise entre le point de contact m et l'axe àtsx^ est constante et égale à a. La tractrice est d'ailleurs la seule courbe jouissant de cette propriété.

Le triangle MTP donne également la relation Mm x mT c= a*, de sorte que, dans une tractrice, le produit du rayon de courbure par la normale est constant; mais cette propriété appartient à une infinité d'autres courbes planes.

Soient (xx^ y\) les coordonnées du point m; on a

ar, = a? — s cos(p = x — a -^

et, en posant e'*= tang-, ces formules deviennent

(22) iPi = a cos6 -t- a log( tang- j > ^i = asin6.

Lorsque le paramètre 6 varie de - à ir, le point (a?i, ^1) décrit l'arc Xmn asymptote à Ox; 6 variant de — à o, le point (a?i,^|) décrira l'arc Am'n',

symétrique du premier par rapport à O^, et correspondant à la branche AM' de la chaînette.

210. Équation intrinsèque. — Proposons-nous de déterminer une courbe plane, connaissant le rayon de courbure en fonction de l'arc, R = o(*). En désignant par a Tangle que fait avec Ox la direction de la

tangente, on a R = ± -j-, et par suite