II. — COURBURE

on en tire a par une quadrature

. r' ds

a = ao± 1 -7-7-

Js. ?(*) On a ensuite xely par deux nouvelles quadratures

d: = a?o-+- 1 cosa<i5, ^=^oH- / sin oids.

Ces courbes dépendent de trois constantes a:o, y^t «©; mais, si Ton n'a égard qu'à la forme et non à la position, on n'obtient en réalité qu'une seule courbe. Considérons, en effet, la courbe particulière C représentée par les formules

les formules générales peuvent s'écrire, en prenant d'abord le signe -f-,

a* = a:o-l- X cosao — Y sinao, y =^oH- X sinao H- Y cosao;

ce sont les formules qui définissent une transformation de coordonnées. En prenant, de même, le signe — devant ç(5), on obtiendrait une courbe symétrique de la courbe G. Une courbe plane est donc complètement déterminée, quant à la forme, si l'on connaît le rayon de courbure en fonction de l'arc. L'équation R = (p(5) s'appelle \ équation intrinsèque de la courbe. D'une façon plus générale, si l'on connaît une relation entre deux des quantités R, 5, a, la courbe est complètement définie de forme, et l'on peut obtenir les coordonnées par des quadratures. Ainsi, si l'on connaît R en fonction de langle a, R =/(a), on a ds :=f{a)dft^ puis

dx = coi(zf{a)da, dy = sina/(a)rfa;

et l'on obtient x el y par deux quadratures. Par exemple, si R est constant, on déduit de ces formules

ar = aro-H R sina, y^y^ — Rcosa;

la courbe cberchée est donc un cercle de rayon R, résultat évident d'après la propriété de la développée. L'arc de cette développée devant élre nul, il est clair, en effet, qu'elle doit se réduire à un point.

5oo CHAPITRE X. — COURBES PLANES.

Proposons-nous encore de trouver une courbe plane dont le rayon de courbure soit inversement proportionnel à l'arc, R = — ; on a d'abord

puis

cos — ^ ds. y= I sin — - ds.

Quoiqu'on ne puisse pas obtenir ces intégrales sous forme explicite, il est facile de se faire une idée de la forme de cette courbe. Lorsque s croît de o à -h 00, a? et ^ tendent vers une limite finie, en passant par une inflnité de maxima et de minima; la courbe a donc la forme d'une spirale, avec un point asymptote sur la droite^ = x.