III. - COxNTACT DES COURBES PLANES

211. Ordre du contact. — Soient G et C deux courbes plane> tangentes en un poinl A. A chaque point m de la courbe G voisin du point A imaginons qu'on fasse correspondre, d'après une loi quelconque, un point m' de la courbe G', de telle façon que le point m' vienne en A en même temps que le point m. En prenant comme infiniment petit principal l'arc A/?î, ou, ce qui revient au

même, la corde A m, nous allons d'abord chercher quel mode de correspondance il faut adopter pour que l'ordre infinitésimal de mm' par rapport à Am soit le plus grand possible. Rapportons pour cela les deux courbes à deux axes de coordonnées, rectangulaires ou obliques, l'axe desy n'étant pas parallèle à la tangente

m. — CONTACT DES COURBES PLANES. 5oi

commune AT. Soient

(G) y=Ax\

les équations des deux courbes, et (xo, jKo) les coordonnées du point A ; les coordonnées du point m seront Xq-\- h elf(xo -+■ A), et celles du point /w' seront de même ^o-4- ^ et F(^o-i- ^')? A' désignant une fonction de h qui tend vers zéro avec A, et qui définit le mode de correspondance adopté entre les points des deux courbes. Observons encore qu'on peut remplacer Tinfiniment

petit principal Am par h = ap^ car le rapport -r-^ tend vers une

limite finie difierente de zéro lorsque le point m se rapproche indéfiniment du point A.

Cela posé, admettons que, pour un certain mode de correspondance adopté, mm' soit un infiniment petit d'ordre r -\- i par rap-

port à h\ mm' est alors un infiniment petit d'ordre 2r -h 2. Or on peut écrire, 6 désignant Tangle des axes,

mm! = [F(^o-h k)—f{xo^ h) -^ (k — A) cose]»-h (Â: — /ï)«sinîO; il faut donc que chacune des différences k — A et

F(To-hA-)-/(a;o-+-/0

soit un infiniment petit d'ordre r-hi au moins, c'est-à-dire que

l'on ait

k = h^ <xh^^\ F(a:o-H k) -/(xo-h h) = ?hr+^,

a et P étant des fonctions de h qui restent finies lorsque h tend vers zéro. La dernière formule peut s'écrire

si l'on imagine F(^o+ A -h aA'^*) développé suivant les puissances de a, la partie qui dépend de a est un infiniment petit d'ordre r -f- i au moins, la différence

A =:: F(:ro+ A)— /(^0-t- A)

est donc un infiniment petit d'ordre au moins égal à r4- i, mais peut être d'ordre supérieur. Or cette différence A représente la distance mn des points des deux courbes G, C, qui sont situés sur

Soi CHAPITRE X. — COURBES PLANES.

une même parallèle à Taxe Oy. Puisqu'en remplaçant le point m' par le point n on ne peut qu'augmenter Tordre infinitésimal de mm', on en conclut que la distance de deux points correspondants des deux courbes est de l'ordre infinitésimal le plus grand possible lorsque les points correspondants sont situés sur une parallèle à l'axe Oy. Si cet ordre est égal à r-h i, on dit que les deux courbes ont un contact d'ordre r au point A.

Remarques, — Celte définition donne lieu à un certain nombre de remarques. L'axe Oy est en définitive une droite assujettie à le seule condition de ne pas être parallèle à la tangente commune AT; on peut donc, pour évaluer Tordre du contact, faire correspondre les points des deux courbes situés sur une droite parallèle à une droite fixe D, non parallèle à la tangente. Le raisonnement précédent prouve que Tordre infinitésimal obtenu ne dépend pas de la direction de la droite D; c'est ce qu'il est aisé de vérifier. Supposons, en efl'et, que par un point m de la courbe C on mène deux droites mm' et mn {fig- 46) parallèles à deux directions Cxes autres que la tangente. Dans le triangle mm! n^ on a

mm m.n

sinm/7i n

lorsque le point m se rapproche du point A, les angles mnniy

mm' n ont des limites difi'érentes de o et de u, car la corde m'n a pour limite la tangente AT, et par conséquent mm' est du même ordre que mn. Le même calcul prouve que mm' ne peut pas être un infiniment petit d'ordre supérieur à mn, quelle que soit la construction dont on déduit le point m' du point m, puisque le numérateur sin m/zm' a une limite finie différente de zéro.

On a pris pour infiniment petit principal Tare Km ou la corde Am ; on aurait obtenu le même résultat en prenant pour infiniment petit Tare Kn de la courbe C, car Km et A/i sont du même ordre.

Lorsque deux courbes C, C ont un contact d'ordre /*, on peut imaginer une infinité de correspondances entre les points /n, m des deux courbes de façon que mm' soit un infiniment petit d'ordre r-4-i. Il suffit de prendre A:= A 4- aA*+*, s étant ^r,