n *^ 1.2. . . (/l -Hl

et, en retranchant membre à membre,

(24) Y -^ =. ^,'^.^'.ll^l) [ï'^'^^^n^o) -r-^'K^o)^ £ - t'I

e, e' étant infiniment petits. L ordre du contact des deux courbes est donc égal à V ordre des plus hautes dérivées des Jonctions f{x) et F(j:), qui sont égales pour x = Xq.

Les conditions (23), données par Lagrange, expriment aussi que l'équation F(x) =/(x) admet x = Xq pour racine multiple d'ordre /i + i. Or cette équation détermine les abscisses des points communs aux deux courbes C, C; on peut donc dire que deux courbes, qui ont un contact d'ordre n, ont n -{- i points d'interseclion confondus en un seul.

5o4 CHAPITRE X. — COURBES PLANES.

La formule (24) montre que Y — y change de signe avec h lorsque n est pair, et ne change pas de signe lorsque n est impair. Donc deux courbes qui ont un contact d^ ordre impair ne se traversent pas au point de contact j et deux courbes qui ont un contact d'ordre pair se traversent. Il est aisé de s'en rendre compte. Considérons, pour fixer les idées, une courbe C traversant la courbe C en trois points voisins du point A; si celle courbe C se déforme d'une manière continue, de façon que les trois points d'intersection viennent se confondre au point A, la position limite de G' a un contact du second ordre avec C, et il suffit de faire la figure pour voir que les deux courbes se traversent au point A. Le raisonnement est évidemment général.

Lorsque les équations des deux courbes ne sont pas résolues par rapport aux ordonnées y et Y, ce qui est le cas général, les règles du calcul des dérivées permettent toujours de former les conditions nécessaires pour que les deux courbes aient un contaci d'ordre n. Le problème n'offre donc aucune difficulté spéciale. Nous examinerons seulement quelques cas particuliers, d'une application fréquente. Supposons d'abord que les coordonnées d'un point de chaque courbe soient exprimées en fonction d'un paramètre variable

et que pour une valeur particulière ^0 on ait à la fois ^(^0)= ?(^o)) i('{to) = 'f'(^o)» de façon que les deux courbes soient tangentes au point A, de coordonnées /(^o), ?(^o)- Si /'(^o) n'est pas nul, ce que nous supposerons, la tangente commune n'est pas parallèle à O^, et l'on obtient les points des deux courbes qui ont même abscisse en posant m — ^ D'autre part, x — Xo est du premier ordre par rapport à t — /qî ^^ nous sommes encore ramenés à évaluer l'ordre infinitésimal de ^{t) — o{t) par rapport à ^ — ^• Pour que les deux courbes aient un contact d'ordre n, il faut el il suffit que l'on ait

(25) 4'(^o)=?(^), 4''('o) = ?'('o), ..., ^'»Kt,)^^^n)(^t,),