III. — CONTACT DES COURBES PLANES. 5o
et le contact est d'ordre /i seulement, si les deux dérivées tî^^"+*^(^o) et ©^""^'^(/o) sont inégales.
Considérons encore le cas où la courbe C est représentée par les deux équations
(16) :r-rf(t), r--?(0,
la courbe C a^'ant pour équaliftn F(x^ y) = o. Ce cas peut se ramener au précédent; remplaçons x par/(^) dans F(x, y) et soit^ = ^{t) la fonction implicite définie par la relation
de sorte qu'on peut aussi regarder la courbe G comme représentée par le système des deux équations
Pour que les deux courbes C, C aient un contact d'ordre n au point A qui correspond à la valeur Cq du paramètre, il faut que les relations (aS) trouvées plus haut soient satisfaites. Or les dérivées successives de la fonction implicite <]^(^) se déduisent des équations
â'^F âF àF
d^F ôF
on obtiendra les conditions du contact en faisant, dans ces formules, t = to, a: = /{to)y ^(to)-=^{to)y 'i'('o)= ?'(^), ..., ^^''^(^to)= (f^"^(tQ), Ces conditions peuvent s'énoncer comme il suit. Posons J(/) = F[/(/), ç(0]î pour r/ue les deux courbes aient un contact d'ordre n au point t =: t^^ il faut et il suffit que Von ait
L'équation ^(t) = o donne les valeurs du paramètre t qui correspondent aux points d'intersection des deux courbes. Les condi-
5o6 CHAPITRE X. — COURBES PLANES.
lions du conlact expriment encore que cette équation admet f = pour racine multiple d'ordre /i-l-i, c'est-à-dire que les deux courbes ont n-{- i points communs confondus en un seul.
213. Courbes osculatrices. — Étant donnée une courbe déterminée C, et une courbe C, dépendant de n + i paramètres a, 6, c, • . • , *,
on peut choisir les valeurs de ces n 4- i paramètres de façon que la courbe O ait avec la courbe C, en un point donné à Tavance, un contact d'ordre n. Soient x =/(t), y = (f{t) les coordonnées d'un point de C; les conditions pour que les deux courbes C, C aient un contact d'ordre n au point t= Iq sont données par les équations (3o), où Ton a posé
La valeur Iq du paramètre élant donnée, ces n H- i équations déterminent les n 4- I paramètres a^ b, c^ ...,/. La courbe C ainsi obtenue est dite osculatrice à la courbe C.
Appliquons cette théorie aux courbes les plus simples. L'équation d'une droite y = ax -{- b dépend de deux paramètres a et 6; la droite osculatrice a donc un contact du premier ordre. Si y=zf(x) est l'équation de la courbe C, les paramètres a et b doivent vérifier les deux relations
on retrouve l'équation de la tangente, comme on devait s'y attendre. L'équation d'un cercle
(32) (a: — a)2-f-(jK — 6)»— R2 = o
dépend de trois paramètres «, b, II; le cercle osculateur a donc un contact du second ordre. So\ly=:/{x) l'équation de la courbe donnée ; on déterminera a, 6, R en écrivant que le cercle rencontre cette courbe en trois points confondus, ce qui donne, avec l'équation (3-2), les deux conditions
(33) X — a-^{y — b)y' = 0, i -hy'^-h-iy — b)y' = o.
Les valeurs de a et 6 que l'on déduit de ces deux relations sont
m. — CONTACT DES COURBES PLANES. 5o7
identiques aux coordonnées du centre de courbure (n'uses); donc le cercle oscillateur coïncide avec le cercle de courbure. Le contact étant du second ordre, nous pouvons en conclure que le cercle de courbure d^une courbe plane traverse cette courbe au point de contact.
Tous ces résultats pouvaient être prévus a priori. En effet, les coordonnées du centre de courbure ne dépendent que de x^ y^ y ^ y'; deux courbes qui ont un contact du second ordre ont donc même centre de courbure. Or le centre de courbure du cercle osculateur est évidemment le centre de ce cercle lui-même; donc il y a identité entre le cercle de courbure et le cercle osculateur. Considérons, d'autre part, deux cercles de courbure voisins; la dilïérence des rayons, qui est égale à Tare de la développée compris entre les deux centres, est supérieure à la distance des centres. L*un des deux cercles est donc tout entier intérieur à Tautre, ce qui ne pourrait avoir lieu si les cercles étaient tous les deux intérieurs ou tous les deux extérieurs à la courbe C, dans le voisinage du point de contact. Il faut donc qu'ils traversent la courbe C.
Il y a cependant sur une courbe plane certains points particuliers où le cercle osculateur ne traverse pas la courbe, et cette remarque se rattache à une propriété générale. Étant donnée une courbe G dépendant de /e -f- i paramètres, on peut ajouter aux {n -f- 1) équations (3o) la nouvelle équation
à condition de regarder /q comme une nouvelle inconnue à déterminer. Il y a donc, en général, sur une courbe plane C, un certain nombre de points où le contact avec la courbe osculatrice G est d'ordre n-{-i. Ainsi, il y a des points où la tangente a un contact du second ordre;, ce sont les points d'inflexion, pour lesquels y = o. Pour avoir les points où le cercle osculateur a un contact du troisième ordre, il faut différcntier la dernière des équations (33), ce qui donne
^yy-^(y-b)yr=o,
et, en éliminant^ — 6, on est conduit à la condition
(34) {i-^yny-^yy''--o.
5o8 CHAPITRE X. — COURBES PLANES.
Les points qui satisfont à cette condition sont ceux pourlesquels
on a -1- =o, c'est-à-dire où le rayon de courbure est maximum
ou minimum. Pour une ellipse, ce sont les sommets; pour une cjcioïde, les points où la tangente est parallèle à la base.
214. Une courbe osculatrice peut être regardée comme la position limite d'une courbe C, qui rencontre la courbe C en n-hi points infiniment voisins, lorsque tous ces points sont venus se confondre. Prenons, pour fixer les idées, une famille de courbes dépendant de trois paramètres a, 6, c, et soient ^oH-'^n io-\-lh^ to-\- fh trois valeurs voisines de to'j la courbe C qui rencontre la courbe G aux trois points correspondants est déterminée par les trois équations
(35) .f(/o-+- Ai) = o, :f(to-hhi) = o, ^(to'+-h^)-'0.
Retranchons la première équation de chacune des deux autres, et appliquons aux deux différences la formule des accroissemenis finis, nous obtenons le système équivalent
(36) .f(^o-HA,)-=o, ,f'(;o-+-Ai) = o, #'(;oH-^t) = o,
où A*| est compris entre A| et A^, A a entre A| et As- En retranclianl de nouveau la seconde équation de la troisième, et appliquant la formule des accroissements finis, on arrive à un nouveau système
(37) ^{to-^hi) = o, S'{to-\'ki) = o, .f'(/o-H/,) = o,
/i étant compris entre k^ et A*2. Lorsque A|, A^, As tendent vers zéro, il en est de même de A*,, A-2, /|, et ces équations deviennent à la limite
ce sont justement les équations qui déterminent la courbe osculatrice. Le raisonnement est le même, quel que soit le nombre des paramètres, et Ton pourrait aussi définir la courbe osculatrice comme la limite d'une courbe G' tangente en p points à la courbe G, et la coupant en q autres points (où a/? -h ^ = n + 0? lorsque ces p -h g points viennent se confondre en un seul.
Par exemple, le cercle osculateur est la position limite ànn cercle passant par trois points de la courbe C infiniment voisins
