OP ^ MF

la limite du rayon Ri est donc bien égale au rayon de courbure R.

5lO CHAPITRE X. — COURBES PLANES.

1. Appliquer les formules générales à la recherche de la développée de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole.

â. Le rayon de courbure d'une conique est proportionnel au cube delà portion de normale comprise entre le point d'incidence et le point de rencontre avec un axe de symétrie.

3. Le rayon de courbure de la parabole est égal au double de la portion de normale comprise entre le point d'incidence et le point de rencontre avec la directrice.

4. Soient F et F' les foyers d'une ellipse, M un point de cette ellipse, MN la normale et N le point de rencontre de la normale avec l'axe focal. Si du point N on mène une perpendiculaire NK sur MN et que, par le point de rencontre K de cette droite avec MF on élève une perpendiculaire KO à MF, le point de rencontre 0 de KO avec MN est le centre de courbure de l'ellipse au point M.

5. Pour les sommets d'une ellipse situés sur Taxe focal, la construction précédente ne donne rien. Démontrer la construction suivante : soient AOA' l'axe focal, BOB' le petit axe; on trace le rectangle OAEB construit sur OA et sur OB et du sommet E on abaisse une perpendiculaire sur A6; les points C et D où cette droite coupe les axes sont les centres de courbure relatifs aux sommets A et B.

6. La développée de la spirale logarithmique p = ae"*^ est une spirale égale à la première.

7. On appelle épicycloïde ou hypocycloïde la courbe décrite par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une circonférence fixe. Démontrer que la développée de cette courbe est une courbe semblable.

8. Soit AB un arc de courbe sur lequel il n'y a ni points singuliers, ni points d'inflexion. En chaque point m de l'arc, on porte sur la normale, à partir de m, de part et d'autre, les longueurs mmi, mmt égales à une ligne donnée /; le point m décrivant l'arc AB, les points mi, mj décrivent deux arcs correspondants A^Bi, A^Bj. Démontrer les relations suivantes : Si= S — /6, S2= S-h/Ô, dans lesquelles S, Si, Si représentent les longueurs des arcs AB, A|Bi, AjBt, 6 l'angle des normales extrêmes. On suppose que l'arc AiB|, situé du côté de l'arc AB où se trouve sa développée, ne rencontre pas cette développée.

[LiCKNCE ; Paris; juillet 1879.]

9. Déterminer une courbe G de façon que le rayon de courbure p en un point quelconque M de celte courbe et l'arc s = AM, compté à partir d'un

EXERCICES. 5ll

point fixe A, vérifieDt la relation as = p*-h a^y dans laquelle a désigne une ligne donnée.

[Licence : Paris; juillet i883.]

10. Soit G une courbe du troisième degré donnée, ayant un point double en O. Un angle droit MON tourne autour du point O, et ses côtés rencontrent respectivement la courbe G en M et N. Déterminer l'enveloppe de la droite MN. Considérer, en particulier, le cas où la courbe G a pour équation X^*= a?', ou j7»-h^'= [ixy,

[Licence : Bordeaux; juillet i885.]

11. Trouver les points où la courbe représentée par les équations

X = a{rnù — sinu>), jr =2 a(n — cosio)

a un contact d'ordre supérieur au second avec le cercle osculateur.

[Licence : Grenoble, juillet i885.]

12. Soient m, /ni, m, trois points voisins sur une courbe plane. Trouver la valeur limite du rayon du cercle circonscrit au triangle que forment les tangentes en ces trois points, lorsqu'ils viennent se confondre.

13. Si une courbe fermée sans point d'inflexion a une développée fermée, la longueur totale de cette développée est égale au double de la différence entre la somme des rayons de courbure maxima et la somme des rayons de courbure minima, pour tous les points de la courbe proposée.

14. Si Ton mène par chaque point d'une courbe une droite de longueur donnée faisant un angle constant avec la normale, la normale à la courbe, lieu des extrémités de cette droite, passe par le centre de courbure de la proposée.

15. Soient r le rayon vecteur mené d'un pôle fixe à un point d'une courbe plane, p la distance de ce pôle à la tangente; le rayon de courbure R a pour expression R = ±: r -7- •

16. Le lieu des foyers des paraboles qui, en un point donné, ont un contact du second ordre avec une courbe donnée, est un cercle.

17. Lieu des centres des ellipses dont les axes ont une direction donnée, et qui ont, en un point donné, un contact du second ordre avec une courbe donnée.