II. — SURFACES BNVBLOPPBS
distiDCte de celles-là. Soient dx^ dy^ dz les difTérentielles relatives à un déplacement du point M sur la courbe C; a restant constant sur la courbe C, on a entre ces différentielles les deux relations
dx dy -^ dz
-T- dx -\' ^' dy -^ -r- dz — o.
dx dy -^ dz
Soient d'autre part Zx^ S^, 8s, 8a les différentielles de x^y^ s, a, relatives à un déplacement du point M sur la courbe F; ces différentielles vérifient les relations
{Si"-
ÔY
ôy
ly^
dz
Iz^
dV dt
ày
ly^
dz
Iz-^
Sa
Pour que les courbes C et F soient tangentes, il faut et il suffit
que Ton ait
dx dy __ dz
et ces conditions deviennent, en tenant compte des relations (3]) et (32),
-— oa = o, — - oa = o.
da doL
Les coordonnées x^ y, z du point de contact doivent donc vérifier les équations
Pour que les courbes C admettent une enveloppe, il faut donc que les quatre équations précédentes soient compatibles, quelle que soit la valeur du paramètre a. Réciproquement, si ces équations admettent une solution commune en x, y^ -s, quel que soit a, le raisonnement prouve que la courbe F décrite par ce point x^y^ z est tangente en chacun de ces points à la courbe C correspondante. Ceci suppose toutefois que le point de coordonnées {Xj y, z) n'est pas un point singulier de la courbe C, c'est-à-dire que les relations (3i) déterminent les rapports des différentielles dx^ dy^ dz.
Remarque. — Lorsque les courbes C sont les caractéristiqaes d'une famille de surfaces à un paramètre F(a:, y y Zy a) = o, les équations (33) se réduisent à trois équations distinctes
la courbe représentée par ces équations est donc Tenveloppe des caractéristiques. C'est la généralisation de la propriété établie plus haut pour les génératrices d'une surface développable.
Les équations d'une droite mobile se présentent quelquefois sous la forme
abc
^Oi yot Zo, a, bj c étant des fonctions d*un paramètre variable a. Il est aisé de trouver directement la condition pour que cette droite ait une enveloppe. Désignons par l la valeur commune des rapports précédents; les coordonnées d'un point quelconque de la droite ont pour expressions
37 = ^0 4- /a, y = y^-^ Ibf z = Zq-\- Ic^
et il s'agit de voir s'il est possible de prendre pour / une fonction de a telle que la courbe décrite par le point (a?, y, z) soit tangente à la droite mobile. Il faut pour cela que Ton ait
en désignant par m une nouvelle indéterminée égale aux rapports précédents, et éliminant l et m entre les trois équatiohs liuéaires obtenues, on est conduit à l'équation de condition
Si cette condition est satisfaite, les relations (36) donneront / et par suite l'enveloppe.
