III. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES

224. Indicatrice sphérique. — Sur une courbe gauche F adoptons un sens de parcours déterminé, et désignons par s Tare de la courbe AM, compris entre un point A choisi pour origine et un

.Vo

m. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 5^9

point quelconque M, précédé du signe + ou du signe — suivant que la direction de A en M est la direction positive ou la direction opposée. Soit MT la direclion positii^e de la tangente en M, c'està-dire celle qui correspond à des arcs croissants. Si par un point O de l'espace on mène des parallèles à ces demi-droites, on forme un cône S, qui est le cône directeur de la surface développable engendrée par les tangentes à la courbe F. Du point O comme centre, avec un rayon égal à l'unité de longueur, décrivons une sphère et soit S l'intersection de cette sphère avec le cône précédent, la courbe S est appelée V indicatrice sphérique de la courbe F. Ces deux courbes se correspondent point par point; à un point M de F correspond le point m, où la parallèle à la direction MT perce la sphère. Lorsque le point M décrit F dans le sens positif, le point m décrit la courbe S dans un certain sens, que nous adopterons comme sens positif sur la courbe S, de façon que les arcs correspondants 5 et o- des deux courbes croissent en même temps {fig. 48).

Fig. 48.

Il est évident que, si l'on déplace le centre O de la sphère, la courbe S subit la même translation ; nous supposerons dans la suite que le centre O coïncide avec l'origine des coordonnées. De même, si l'on change le sens positif sur la courbe F, la courbe S est remplacée par la courbe symétrique relativement au point O; mais il est à remarquer que la direction positive mt de la tangente à S ne dépend pas du sens du parcours adopté sur F.

Le plan tangent au cône suivant la génératrice 0/n est parais G. 34

53o CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

lèle au plan osculaleur en M. Soît, en effet, AX-f.BY-+-GZ = o

rëquation du plan 0/nm', le centre O de la sphère étante Torigine; ce plan étant parallèle aux deux tangentes en M et M', on doit avoir, les points M et M' correspondant aux valeurs t et t -{- Il àM paramètre,

(38) A/'(Oh- Bo'(0-h Cf (n= o;

(89) A/'(^-HA)H-B(j)'(^-i-/i)H-Gf(fH- A)=o,

la seconde de ces relations peut être remplacée par la suivante

qui devient, lorsque h tend vers zéro,

(4o) A/'(OH- Bcp'(OH- CY(n = o,

et les équations (38) et (4o) auxquelles on parvient sont précisément celles qui déterminent le plan osculateur.

225. Rayon de courbore. — Soit (o l'angle des directions positives MT, M'T' des deux tangentes aux points infiniment voisins. M, M' de la courbe F. La limite du quotient fOnon* lorsque

le point M' se rapproche indéfiniment du point M, s'appelle encore la courbure de F au point M; le rayon de courbure est l'inverse

de la courbure, c'est-à-dire la limite du quotient • On peut

encore définir le rayon de courbure comme la limite du rapport des arcs infiniment petits MM', mm'; nous avons en effet

arcMM' arcMM' arc/n/n' cordemw' oj ~~ ave mm' corde mm' w

, , arcmm' cordem/n' ». . 1, •, .

et chacun des rapports — 1 7» a pour limite 1 umle

lorsque m' se rapproche de m. Les arcs 5, o* variant dans le même sens, on a donc

m. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 53 1

Soient

les coordonnées d'un point de la courbe F dans un système d'axes rectangulaires ayant le point O pour origine. Les coordonnées du point m sont précisément les cosinus directeurs de MT

dx o ^ dy ^^ .

~ ds* ^ ~ ds^ ^ ~~ ds*

on déduit de ces formules

dsd^x — dxd^s ,,, dsd*y — dyd^s , dsd^z — dzd^s

d- = rfii ''? = -^rf,. -^ ' ''Tr= 5iî '

rf,.= rf,.+ rfp.+ rf-r.= (dsd^x-drd*s)*Mdsd*y-dydU)^M...)\

OU, en développant les carrés et tenant compte des relations qui donnent ds^ et dsd^s^

, (dx^-^dy^-\-dz^)[{d^x)^-\-{d^y)^-{-(d^z)^]—(dxd^X'^dyd^y-^dzd:^zy ~ ds'^

L'emploi de Tidentité de Lagrange permet jencore d'écrire

^"*= di^ •

en posant, comme nous le ferons dans la suite,

k = dy d^z — dz d'^y, B = dz d^x — dx d^z,

C = dx d^y — dy d^x^

et la formule (40 qui donne le rayon de courbure devient alors

ds^

R^ est, comme on le voit, une fonction rationnelle de x, y, ^, x', y, z\ .r", y, z" . Quant au rayon de courbure lui-même, son expression est irrationnelle, mais c'est une quantité essentiellement positive.

Remarque. — Lorsque la variable indépendante est l'arc de la courbe F elle-même, les fonctions f{s)^ ?(^)î ^(^) vérifient la relation /'- (5) -f- 'f'^ (5) + A'^(^) = 1, et la formule qui donne le rayon de courbure prend une forme élégante. Si l'on reprend, ei>

effet, le calcul précédent, on a, s étant la variable indépcDClaote,

<45) j da=^/''(s)ds, d? = ^\s)ds, dy^Yis)ds,

{ da^=\[/'is)y+[o(s)y-^[Y(s)y\ds^

et, par suite,

(44 bis) ^ = [/'(0P-+- [t'(0]*^ [V(^)Y^

226. Normale principale. Centre de courbure. — Par le point M de la courbe F, menons une droite parallèle à la tangente en m à la courbe S et considérons sur cette droite la direction MN parallèle à la direction positive mt, La droite ainsi obtenue s'appelle la normale principale à T; c'est la normale située dans le plan osculateur, puisque mt est perpendiculaire sur 0/n et que le plan Omt esl parallèle au plan osculateur (n** 224). La direction MN est la direction positive de la normale principale. C'est une direction bien définie, puisque la direction de mt ne dépend pas du sens de parcours adopté sur F. Nous verrons toul à l'heure comment on pourrait définir cette direction sans se servir de l'indicatrice.

Si l'on porte sur la direction MN, à partir du point M, une longueur MG égale au rayon de courbure, l'extrémité C s'appelle le centre de courbure, et le cercle décrit du point C comme centre avec le rayon MC dans le plan osculateur s'appelle le cercle de courbure. Soient a', P', y' les cosinus directeurs de la normale principale; les coordonnées ^i,^i, z^ du centre de courbure ont pour expressions

a:, = a:-t-Ra', y\=^y-^^^\ -2| = « -H Ry'.

Or, on a

, doL doL ds -^ dct ^ -^ ds d^x — dx d^s

d(5 d$ d^ ds ~ ds^

et des formules analogues pour ^' et y'. En remplaçant a' par sa valeur dans Xi^ il vient

«,. dsd^x — dxd*s

m. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 533

le coefficient de R^ peut encore s'écrire

ds^d^x — dx dsffis __ d^xidx^-hdy^-i- dz^) — dxi dr d^ x -{- dy d^y -h dzd^z) ds^ " ^7^ '

OU, en introduisant les coefficients A, B, C,

Bdz—Cdy

Les valeurs de j^j et de Zt se déduisent de celles de Xt par sjmétrie et l'on a, en définitive, pour les coordonnées du centre de courbure,

/ ^ndz — Cdy ^Cdx — Xdz

ces formules sont rationnelles en x^y, 5, x'^y', z\ x!\y'^ z" .

Si l'on mène par le point M un plan Q perpendiculaire sur MN, ce plan passe par la tangente MT et ne traverse pas la courbe F au point M. Nous allons montrer que le centre de courbure et les points de F voisins de M sont du même côté de ce plan Q. Pour établir cette propriété, supposons que la variable indépendante soit l'arc s de la courbe F compté à partir du point M; on a, 2)0ur les coordonnées X, Y, Z d'un point M' voisin de M,

„ s dx s^ ( d^x \

\ ds j.i\ds^ /

et deux développements analogues pour Y et Z. Mais, la variable indépendante étant s, on a

dx d^x ^ doL da d<j i ,

~dl ~^' ds^ ~ di "did^ ~' H^'

et la formule qui donne X devient

Si l'on remplace X, Y, Z par leurs valeurs dans le premier membre de l'équation du plan perpendiculaire à MN,

le résultat de la substitution est

Tj étant infiniment petit en même temps que s; ce résultat est positif pour les valeurs de s voisines de zéro. De même en remplaçant X, Y, Z par les coordonnées x + Ra', . . . , du centre de courbure, le résultat de la substitution est R, quantité essentiellement positive, ce qui démontre la propriété énoncée.

227. Droite polaire. Surface polaire. — La perpendiculaire A au plan osculateur menée par le centre de courbure s'appelle la droite polaire. Cette droite est la caractéristique du plan normal à F. Il est évident d'abord que rinlersection des deux plans normaux aux points voisins M, M' est une droite D perpendiculaire aux deux droites MT, M'T' et, par suite, au plan mOm'. Lorsque le point M' se rapproche de M, le plan mOm' devient parallèle au plan osculateur, la droite D a donc pour limite une droite perpendiculaire au plan osculateur. Pour démontrer que cette droite passe par le centre de courbure, supposons qu'on ait pris pour variable indépendante l'arc 5 de F; le plan normal a pour équation

et la caractéristique est définie par les équations (47) et (48)

La nouvelle équation représente un plan perpendiculaire à la normale principale et passant par le centre de courbure. L'intersection de ces deux plans est donc la droite polaire.

La surface réglée, lieu des droites polaires, est la surf ace polaire» D'après ce qu'on vient de démontrer, c'est aussi la surface développable enveloppe du plan normal à F. Lorsque la courbe F est une courbe plane, la surface polaire est le cjlindre ajant pour section droite la développée de F, et les propriétés précédentes deviennent évidentes.

228. Torsion. — En remplaçant dans la définition de la courbure la tangente parle plan osculateur, on est conduit à un nouvel

m. — COUEBUEK ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 535

élément géométrique qui mesure cd quelque sorte la façon plus ou moins rapide dont tourne le plan osculateur. Soit co' l'angle des deux plans osculateurs aux deux points infiniment voisins M,

M' ; on appelle torsion au point M la limite du quotient — mTP>

lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M. Le rajon de torsion T est l'inverse de la torsion.

Menons par le point M une perpendiculaire au plan osculateur, et, sur cette droite appelée binormale, adoptons une direction déterminée (que nous fixerons plus tard), dé cosinus a", p*', y. La parallèle menée par Torigine perce la sphère de rayon un en un point /z, que nous ferons encore correspondre au point M de F.

Le lieu du point n est une courbe sphérique 6, et l'on montre,

comme plus haut, que le rayon de torsion T peut encore être

défini comme la limite du rapport des deux arcs infiniment petits

correspondants, arc MM', arc nn\ des deux courbes F et O. On a

donc

T désignant l'arc de la courbe O.

Les coordonnées du point n sont a", ^" ^ y'\ c'est-à-dire

le radical étant pris dans les trois formules avec le même signe. On déduit de là les valeurs de rfa", rfp", rfy"; on a, par exemple,

^ (AîH-B5-+-Cî)r/A — AfAr/A^ Bt/B-hC^C)

«a = III j y

(A»-t-Bî-+-C«;« et la formule rfx^ = c/a"^ + rfp"2 | d-{'2 nous donne

j (A»-4-B»-4-G«)(é/A«-hrfB»-4-</C»)-(Ar/A-^BrfB-4-CrfC)«

ou, en employant de nouveau l'identité de Lagrange,

{B dQ — C d?^)^-^(C dk — k dCY-\-{k dB — h d\y

On peut simplifier le calcul du numérateur en utilisant les rela-

lions

A ctr -H B djr-{-Cdz = o,

d\ dx -{- dB djr -{- dC dz = o, d'où Ton lire

Uq^ ^^ ^r dz

^^^^ B^G-GrfB " CdX'-XdG " XdB-BdA

et il vient

rfTl — .

(A*-HB«-hG*)* Quant à la valeur de K, on a, en développant,

(dz d^x — dx d^z)(dx d^y — dy d^x)— (dx d>y — dy d*x)(dz d^x — dxd^i) "" d^r

z=idzd'^xd^y'-dxd^zd^y'\'dyd^zd^x — d^ydzd^x-\-dxd:^yd^Z'-dyd>x^z\

le second membre n'est autre chose que le développement du déterminant A[(n** 216), formule 8]. On a donc

"^^^-Aî-hB^+C»' et par suite

Si l'on considère le rayon de torsion T comme une quantité essentiellement positive, de même que le rayon de courbure, on prendra pour T la valeur absolue du second membre. Mais il est à remarquer que l'expression obtenue est rationnelle en x' ^ ;/, x", y\y^ y"'-, z'^ z" ^ z'". Il est donc naturel de considérer le rayon de torsion comme une longueur affectée d'un signe. Les deux signes correspondent à des dispositions entièrement différentes de la courbe F dans le voisinage du point M.

Le signe de T ne dépendant que du signe de A, étudions comment varie la disposition de la courbe avec ce signe. Nous supposerons que le trièdre Oxyz est disposé de telle façon qu'un observateur debout sur le plan des xy^ les pieds en O et la tête en 5, verrait l'axe Ox tourner de 90° de droite à gauche pour coïncider avec Oy. Gela étant, choisissons sur la binormale une direction MN3 telle que le trièdre (MT, MN, MN^) ait la même disposition que le trièdre Oxyz, Si Ton déplace la courbe F d'une

m. — COURBURE BT TORSION DES COURBES GAUCHES. 537

manière continue de façon à amener le point M en O, MTsiir Oo:, MN sur Oy, la direction MN^ viendra coïncider avec O^. Dans ce mouvement, la valeur absolue de T reste la même; donc A ne peut s'annuler et, par suite, cçnserve un signe constant (*). La courbe F étant rapportée à ce nouveau système d'axes de coordonnées, supposons que la valeur f = o du paramètre corresponde àTorigine; les coordonnées d'un point voisin auront des expressions de la forme suivante

ix = a,^-f-/*(a,H-e), ^ = ^5(C3-f-£'),

e, c', e" étant infiniment petits avec t; en effet, dans le système d'axes choisi, on doit avoir, pour t = o, dy^= dz = d^z = o. On peut supposer a^ > o, car il suffirait de remplacer t par — t pour changer a% en — a, ; 62 est positif puisque y doit être positif pour les valeurs de t voisines de zéro, mais Cs peut être positif ou négatif. Or on a, pour / = o, A = i2aib2Czdt^, de sorte que A a le signe de c^» Cela posé, deux cas sont à distinguer, suivant le signe de C3 : I** si C3>> o, J7 et 5 sont négatifs lorsque t varie de — A à o et positifs lorsque t varie de o à -f- A (A étant un nombre positif

Fig. 49 a. Fig. 49 à.

très petit). Un observateur debout sur le plan osculaleur, les pieds en un point P de la normale principale, verrait l'arc MM' à sa gauche au-dessus du plan osculateur et l'arc MM" à droite audessous du plan osculateur (Jig' 49 ^)- La courbe est donc sinistrorsum. On aurait la disposition inverse {fig* 49 ^) si C3 était

(*) II est du reste facile de démontrer par un calcul direct que A ne change pas quand on passe d'un système d'axes rectangulaires à un système d'axes reclangulaires de môme disposition.

S3i8 CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

négatif; la courbe serait dextrorsum. Ces deux dispositions sont absolument distinctes Tune de Tautre. Par exemple, deux hélices de même pas, tracées sur deux cylindres de révolution de même rayon, sont superposables si elles, sont toutes les deux dextrorsum ou sinistrorsum ; mais, si Tune est dextrorsum et l'autre sinistrorsum, Tune d'elles est superposable à la symétrique de Tautre par rapport à un plan.

Nous écrirons désormais la formule qui donne la torsion

en un point où T est positif, la courbe est dextrorsum, et sinistrorsum en un point où T est négatif. Ce serait le contraire avec une disposition différente du trièdre Oxyz.

229. Formules de Frenet. — Chaque point M de la courbe F est le sommet d'un trièdre trirectangle, de même disposition que le trièdre Oxyz^ formé par la tangente, la normale principale et la binormale. La direction positive de la normale principale est bien déterminée, tandis que la direction positive de la tangente peut être prise arbitrairement et détermine celle de la binormale. Les différentielles des neuf cosinus directeurs a, p, y? • • • s'expriment très simplement au moyen de R, de T et de ces cosinus euxmêmes, par des formules dues à Frenet ( * ). Nous avons déjà obtenu les formules qui donnent rfa, rfp, rfv,

dx a' ds ""H'

ds " R'

ds" K

Soient

nir

^A«-t-B«-hG» y/A«H-Bi-hG» /A*-+-B>4-C«

les cosinus de la direction positive sur la binormale. Le trièdre (MT, MN, MNô) ayant la même disposition que le trièdre Oxyz, on doit avoir

BY-CP a = e ' «

(^ ) Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, i864; p. 384.