III. ~ COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES

D'autre part, la formule qui donne rfa'^ peut s'écrire B(Bd\ — \dh)^C(CdX — \dC)

da'=t

ou, en tenant compte des relations (49) et de la valeur de K, da' C^ — By Ag^

Le coefficient de a' n'est autre chose que =i [formule (Sa)]; on calculerait de même d^" et rfy , et nous avons les formules ( * )

tout à fail pareilles aux formules (53).

Pour avoir rfa', rf^', c/y', différentions les relations bien connues

aa'-f- PP'-h TT'=^»

ce qui donne, en remplaçant t/a, t/^, rfy» ^^"î ^?"i ^Y P^^ leurs valeurs tirées des formules (53) et (54),

aVa'4- P"ûf?'-+- y'^Y'-H $ =0;

nous n'avons plus qu'à tirer rfa', rf^', dy^ de ces relations /.^^ ^'-««^?L' £^'«£ê! f^-i>ï:

^^^^ ^* ■" R T' ds " K T* ds ^ n T' Les formules (53), (54), (55) sont les formules cherchées.

(*) Si l'on avait écrit la formule qui donne la torsion, ™ = -r-j — 5^ — ?^» aurait fallu écrire les formules de Frenet

doi''= ^y

Remarque. — Les formules (54) montrent que la tangente à la courbe sphérique O décrite par le point n de coordonnées a', P", y est parallèle à la normale principale. C'est ce que montre aussi la géométrie. Considérons, en effet, le cône S' de sommet 0 ayant pour directrice la courbe O; la génératrice On est perpendiculaire au plan tangent au cône S suivant Om{n^ 228), et par conséquent le cône S' est supplémentaire du cône S. Mais on sait qu'il y a réciprocité entre deux cônes de cette espèce, de sorte qu'inversement la génératrice Om de S est perpendiculaire au plan tangent au cône S' suivant On, Cela étant, la tangente mtk la courbe S, étant perpendiculaire aux deux droites Om, On, est perpendiculaire au plan m On. Pour la même raison, la tangente nt' à la courbe O est perpendiculaire au plan m On. Ces deux droites sont donc parallèles.

230. Développements de x^ y, z suivant les puissances de s» — Étant données deux fonctions d'une variable indépendante 5, R= ©(5), T= ^(^)î dont la première est positive, il existe une courbe gauche F, qui est complètement définie, abstraction faite de sa position dans l'espace, dont le rayon de courbure et le rayon de torsion s'expriment par les formules précédentes au moyen de l'arc compté à partir d'un point de cette courbe. La démonstration rigoureuse de celte proposition ne peut être faite qu'après la théorie des équations différentielles. Nous allons montrer seulement comment on peut trouver les développements des coordonnées d'un point de la courbe cherchée suivant les puissances de 5, en admettant la possibilité de ces développements. Prenons pour axes de coordonnées la tangente, la normale principale et la binormale au point O à partir duquel on compte l'arc; les coordonnées d'un point de la courbe cherchée, voisin de l'origine, ont pour expressions

^ s I dx\ 5* /d^x\ s^ /d^x\

~"7 V"57/o"^ i.aVc^^Vo"*" i.a.3 W^'/o"^*"

m. — COURBURE BT TORSION DES COURBES GAUCHES. 54 1

Mais on a

"Si ""*' "^ "" S "" K' et, en difTérentiant de nouveau,

çP^ a^ ç[R jt^ /a a^\ ds^ "" ^^ ds RVÎÏ "*■ T/'

et, d'une façon générale, on obtient, par Femploi répété des for-

'ds^

mules de Frenet, Texpression de --r-^

-^— - = L„a-hM„a'H-P„a',

L„, M„, P« étant des fonctions connues de R, T et de leurs dérivées successives par rapport à l'arc On aurait de même les dérivées successives de j^ et de z en remplaçant a, a', a" par p, P', P" et Y, y', y. Mais on a, pour Torigine, ao=:i, ^0=0, ^0=0, S=0' Pi=^To=o, «^=0, pJ=o,Y«= Il et les formules (56) deviennent, en se bornant aux termes en 5, 5^, 5',

~ 6RT"^*"' les termes non écrits étant de degré supérieur au troisième. On

suppose, bien entendu, R, T, -^ > • • • remplacés par leurs valeurs

pour 5 = 0.

Ces formules permettent de calculer aisément la partie principale de certains infiniment petits. Ainsi, la distance d'un point voisin de la courbe au plan osculateur est du troisième ordre et sa

partie principale est — ^rx* ^^ distance d'un point à l'axe Oor, c'est-à-dire à la tangente, est du second ordre, et sa partie principale est — ô {cf. n® 214). Calculons encore la longueur d'une corde infiniment petite c. On a

les termes non écrits étant d^un degré supérieur au quatrième. II vient ensuite

la différence s — c est donc un infiniment petit du troisième

ordre, et sa partie principale est -y^i '

On démontre par un calcul tout pareil que la plus courte distance entre la tangente à Torigine et la tangente en un point infiniment voisin est un infiniment petit du troisième ordre dont la