partie principale est — ^» Ce théorème est dû à M. Bouquet

231. Développantes et développées. — On dit qu'une courbe F, est une développante d'une autre courbe F, si les tangentes à la courbe F font partie des normales à la courbe Ti\ inversement, la courbe F est dite une développée de F|. Il est clair que toutes les développantes d'une courbe F sont situées sur la développable dont F est l'arête de rebroussement et coupent orthogonalemenl les génératrices.

Soient x^ y, z les coordonnées d'un point M de F, a, p, vies cosinus directeurs de la tangente, et / le segment MM| compris entre le point M et le point M| où une développante coupe la tangente en M; on a, pour les coordonnées de M|,

et, par suite;

dxi =^ dx-hida-hoidl^ dyx r= dy -^ l d^-^ ^ dl^

dzi = dz -{- l d^ -h ^( dL

Pour que la courbe décrite par le point M| soit normale à MM|,

il faut et il suffit que l'on ait arfar«-i- ^dyt-]-ydZi = o, c^est-

à-dire

a dx -h ^ dy -\- -{ dz -h dl -^ l(oL doL -^ ^ d^ -\- y d^) = o,

relation qui se réduit k ds -{- dl = o» On obtient donc les développantes d'une courbe gauche F par la même construction qui donne les développantes d'une courbe plane (n** 206).

Proposons-nous maintenant de trouver les diverses développées