III. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES

d'une courbe F, c'est-à-dire d'associer les normales à cette courbe suivant une loi continue, de façon à obtenir une surface développable (^g. 5o).

Fig. 5o.

Soient D une développée, cp Fangle de la normale MM| avec la normale principale MIN, lie segment MP compris entre le point M et la projection P du point M| sur la normale principale. Les coordonnées ^^,y^J Zi du point M, sont données par les formules

i^Ti = ar -f- Iol' -f- la' tang^, Zi = z -f- /y' -^ l^ tangcp,

que Ton obtient en projetant la ligne brisée MPM| sur les trois axes. La tangente à la courbe décrite par le point M| doit être la droite MM| elle-même, ce qui exige que Ton ait

^^1 dyx dzx

xi — x yi—y zi—z

désignons par K. la valeur commune de ces rapports; la condition dXi = K{xt — x) s'écrit, en remplaçant Xi et dxt par leurs valeurs, et se servant des formules de Frenet,

ads(i— D ) + oL'(dl -h /tango 7=^ — K/j

H-a'L/(/tangcp) ^ — K/tang© = o.

Les conditions dyt= K{yi — y)y dzy=^ K{Zi — z) donneront deux relations toutes pareilles, que Ton déduira de la précédente en remplaçant a, a', cl" par jS, ^', p'^ puis par y, y', Y' ^^ déterminant des neuf cosinus étant égal à un, le système formé par ces

trois relations est équivalent au suivant

( (i-'r^jds = o, <f/-4-/tang<p Y=K/, I <f(/tang(p) 7p- = K/tangçp.

On tire de la première / := R, ce qui montre que le point P est le centre de courbure, et la droite PMi la droite polaire. Par conséquent, toutes les développées d^une courbe F sont sur la surface polaire. Pour achever de déterminer ces développées, nous n^avons plub qu'à éliminer K entre les deux dernières relations (58), en y remplaçant / par R; il reste, toutes réductions faites, ds^T d'f. L'angle (f s'obtient donc par une quadrature

Si Ton considère deux valeurs de l'angle y, correspondant à deux valeurs différentes de la constante Ço> '^i différence de ces deux angles reste constante tout le long de la courbe F. On voit donc que deuj: normales de la courbe F, gui sont tangentes à deux développées différentes, se coupent sous un angle constant. Si l'on connaît une famille de normales à F engendrant une surface développable, on obtiendra toutes les autres développables formées de normales, en faisant tourner les premières d'un angle constant, d'ailleurs arbitraire, autour du point où elles coupent F.

Remarque 1. — Si la courbe F est une courbe plane, T esi infini, et la formule précédente donne cp = Qo- La développée qui correspond à la valeur f o = o est la développée plane déjà étudiée, qui est aussi le lieu des centres de courbure. Les autres développées, en nombre infini, sont situées sur le cylindre ajanl pour section droite la développée ordinaire : ce sont des courbes gauches, appelées hélices, qui seront étudiées au paragraphe suivant. Ce cas est le seul où le lieu des centres de courbure soit en même temps une développée. Pour que la relation (59) soil vérifiée en prenant <f = 0, il faut que T soit infini ou que A = 0. La courbe est donc une courbe plane (n** 216).

Remarque 11. — Si la courbe D est une développée de F, in-