III. - COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES

versement F est nne développante de D. On a donc, en appelant St Tare de la développée compté dans un sens convenable,

dsl=:d(MM^); les développées d'une courbe sont donc des courbes rectifiables.

232. Hélices. — Soit G une courbe plane quelconque; si, de chaque point m de cette courbe, on porte sur la perpendiculaire au plan de G une longueur m M proportionnelle à Tare de la courbe G, compté à partir d'un point fixe A, le lieu du point M est une courbe gauche F, appelée hélice. Prenons pour plan des xy le plan de la courbe G, et soient

les expressions des coordonnées d'un point m de G en fonction de l'arc 9; les coordonnées du point correspondant M de la courbe T seront

K étant un facteur constant. Les fonctions / et (p vérifient d'ailleurs la relation y* -h 0'*= 1. Des formules (60) on tire, en appelant s Tare de T,

c^5» = (/'M 9'2-^ K*)cfj«=(i-i-K«)^cr«

et, par suite, s = j/n- K*-f- H ; si l'on compte les arcs 5 et c à partir d'un même point A de la courbe G, ce qui revient à faire H = o, on aura * = d/i -i- K*. Les cosinus directeurs de la tangente à F ont pour valeurs

Y étant indépendant de 7, on voit que la tangente fait un angle constant avec Oz. Gette propriété est caractéristique : Toute courbe dont les tangentes font un angle constant avec une direction fixe est une hélice. Pour le démontrer, prenons l'axe des z parallèle à celte direction, cl soit G la projection de la courbe considérée F sur le plan des xy\ on peut toujours écrire les équations de la courbe F

les fonctions/ et «p satisfaisant à la relation /'*-f- <p'*= i, ce qui revient à prendre pour variable indépendante l'arc a de la courbe G. On en déduit

pour que y soit constant, il faut et il suffit que ^' soit constant et, par G. 35

suite, que <K<j) soit de la forme K<j-hzo. Les équations de la courber seront de la forme (60), si l'on porte l'origine au point ar = o, / = o,

Z = Zq»

La formule —r — -k nous donne ici, puisque ^ «st constant, y ==<>• La

normale principale est donc perpendiculaire aux génératrices du cylindre; comme elle est, en outre, perpendiculaire à la tangente à l'hélice, c'est la normale au cylindre, et le plan osculateur est lui-même normal au cylindre. La binormale est donc située dans le plan tangent au cylindre et perpendiculaire à la tangente; ce qui montre qu'elle fait aussi un angle constant avec 0^.

dy' Y y'

La formule -^ - = — r ~ "t "^"^ donne ensuite, puisque y'=o,

1- -f- 7= = o, ce qui prouve que, dans une hélice, le rapport -^ est constant.

Kl K

Ces diverses propriétés sont caractéristiques d'une hélice. Démontrons,

T par exemple, que toute courbe, pour laquelle le rapport ^ est constant, est une hélice, (J. Bertrand.) On tire des formules de Frenet

^ "" rfp' "" 57 ■" R ~ H '

si H est constant, on aura en intégrant

a'-.Ha — A, p'^r-Hp-B, /=Hy — G,

A, B, G désignant trois nouvelles constantes. Ajoutons ces trois équations après les avoir multipliées respectivement par a, p, y : il vient

Aa-i-Bp-hGY = H, ce qu'on peut écrire

Ag-hB^ -f- Gy H

/A^^-i-B^H-G» y/A2^B«-hG»

sont les cosinus

y/A2-+-B«-T-Gi v/A*4-B*-i-G2 /A2^B«-f-G« directeurs d'une certaine droite A, et la relation précédente exprime que la tangente fait un angle constant avec cette direction; la courbe considérée est donc une hélice.

Galculons encore le rayon de courbure. On a, en se reportant aux valeurs trouvées plus haut (61) pour a, p,

a! doL ^ rir, \ P' ' »/ X