III. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES

et par conséquent, puisque y' = o,

Le rapport — ^ — est donc indépendant de K; or, pour K = o, ce rapport se réduit à Finverse - du rayon de courbure de la section droite C,

comme il est facile de le vérifier (n** 205). La formule précédente peut donc s'écrire R = r(n-K*), ce qui montre que le rayon de courbure d'une hélice est dans un rapport constant avec le rayon de courbure de la courbe C.

Il est facile de déduire de là toutes les courbes pour lesquelles R et T

sont constants. En effet, le rapport ^ étant constant, ces courbes sont

des hélices, d'après le théorème de M. Bertrand. De plus, R étant constant, il en est de même du rayon de courbure r de la courbe G. Cette courbe C est donc une circonférence, et la courbe cherchée est une hélice tracée sur un cylindre de révolution. Cette proposition est due à M. Puiseux (' ).

^3. Courbes de M. Bertrand. — Les normales principales à une courbe plane sont en même temps les normales principales d'une infinité d'autres courbes planes, parallèles à la première. M. J. Bertrand s'est proposé de trouver les courbes gauches dont les normales principales sont aussi les normales principales d'une seconde courbe gauche. Supposons les coordonnées x^ y^ z d'un point exprimées en fonction de l'arc s\ sur chaque normale principale portons une longueur /, et soient X, Y, Z les coordonnées de l'extrémité

(6î) Xr^.r-r-/a', Y=7-r-/p', Zr=5-h/Y'.

Pour que la normale principale à la courbe F soit aussi la normale principale à la courbe V décrite par le point (X, Y, Z), il faut et il suffît que l'on ait les deux relations

a'd\ t-P'^Y-hy'^^-o,

oL\d\ ^2 Z - dZ d^ \) -H ?'(rfZ e/« X — d\ d^ Z) -t- y'(^X ^î y - d\ d*- \) = C),

dont la signification est bien claire. On tire de la première dl — o, ce qui prouve que la lonj^iieur / doit être constante. En remplaçant ensuite dans la seconde d\, e/*X, d\, ... par leurs valeurs déduites des formules de Frenet et de celles qu'on obtient en les différentiant, il reste, toutes rédiie-

(') La démonstration suppose qu'il s'agit de courbes réelles, car on a supposé plus haut que A-H-B'-f-C^ n'était pas nul {voir la thèse de M. Lyon Sur tes courbes à torsion constante, iH(jo).

lions faites,

et l'on en tire, en intégrant, la relation

/' désignant une nouvelle constante. Les courbes cherchées sont donc celles pour lesquelles il existe une relation linéaire entre la courbure et la torsion. On voit de plus que la condition est suffisante et la longueur / est donnée par la relation (65) elle-même.

Un cas particulier remarquable avait déjà été étudié par Monge; c'est celui où le rayon de courbure est constant. La relation (65) devient alors / = R, et la courbe V représentée par les formules (64) est le lieu des centres de courbure de la courbe T, Des formules (64) on tire, en supposant / = R = constante,

dX^-^a'ds, rfY = - 5 p'rf,, rfZ = - 5 ^-dt,

ce qui montre que la tangente à la courbe F' est la droite polaire de F. Le rayon de courbure R' de V est donné à son tour par la formule

on voit que ce rayon de courbure est aussi constant et égal à R, et il y a réciprocité entre les deux courbes F, F'; chacune d'elles est Taréie de rebroussement de la surface polaire de l'autre. Toutes ces propriétés sont faciles à vérifier directement sur l'hélice circulaire.

Remarque, — Il est facile d'avoir des formules générales représentant toutes les courbes gauches dont le rayon de courbure est constant et égal à R. Soient a, p, y ^^^^^ fonctions d'un paramètre variable satisfaisant à la relation a* -h p*-f- y*= '• Les formules

(66) \ = Rfad7, Y = RAtf(i, Z^^l^Ç^d^,^

où l'on a posé dfs = \/û^a*H- d^^-k- d-(^y représentent une courbe répondant à la question, et il est aisé de démontrer qu'on les obtient toutes de cette façon. En effet, a, p, y ^^^^ précisément les cosinus directeurs de la tangente, et (j est l'arc de riudicalrice sphérique (n* 225).