IV. - CONTACT DES COURBES GAUCHES, DES COURBES ET DES SURFACES

234. Contact de deux cotirbes. — L'ordre de contact de deux courbes gauches se définit comme pour les courbes planes. Considérons deux courbes F, F', tangentes en un point commun A; soit M un point de F voisin de A, auquel on fait correspondre un point M' de F' d'après une loi quelconque, de telle façon que les deux points M, M' tendent simultanément vers le point A. Nous allons chercher quel est Tordre infinitésimal maximum de MM' par rapport à l'arc AM considéré comme infiniment petit principal; si cet ordre est /i + i, nous dirons que les deux courbes ont un contact d'ordre n.

Rapportons les deux courbes à un système d'axes rectangulaires (*), le plan des yz n'étant pas parallèle à la tangente commune, et supposons d'abord leurs équations mises sous la forme

i y=:/(x). ^ , I Y = Frx).

I 5 = o(r), ( Z = *(ar).

Si j?o? y^'i ^0 sont les coordonnées du point de contact, les coordonnées des deux points M, M' sont respectivement

yi[xQ-hh, f{xQ-{-h), o(ro-+-A)], M'[aro-{-X:, F(aroH-X-), ^{xq-^ k)],

k élant une fonction de h qui dépend de la loi de correspondance établie, et qui s'annule avec A. On peut encore prendre h pour infiniment petit principal au lieu de Tare AM (n** 211), et, pour que MM' soit un infiniment petit d'ordre n-f-i, il faut que chacune des différences

k — hy ¥{xQ-^k)—f{xo-^ A), *(a:o-h X-) — <p(a?oH- A)

soit un infiniment petit d'ordre n -j- i au moins. On doit donc

avoir

k — h = OLh^+i. F (xo-^ k) -^/{xo-h h) = pA«+»,

^(xo-^k) — <^(xo-\-h) = yh"^\ a, p, Y restant finis lorsque h tend vers zéro; en remplaçant k par

( ' ) Il est facile de voir que celte hypothèse n'est Jiullement nécessaire pour la suite, en se reportant à la formule qui donne la distance de deux points en coordonnées obliques.

55o CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

sa valeur A-HaA^+^j les deux dernières conditions deviennent

F(xo-f- A-4- a A«-+-*) — /(a7oH- h) = p A«+i, <i>(aro-f- AH-aA»+») — o(aroH-A) = y^**"^'-

En développant F(a:o4- h + aA«+') et ^(^0+ ^ + aA«+') parla formule de Taylor, tous les termes qui dépendent de a contiendront A''^* en facteur, et les différences

F(a7o-^ A)— /(aro-f-Zi). *(aro-4- A) — <p(xo-^- A>

devront être d'ordre n -4- i au moins. Il s'ensuit que, si la dislance MM' est d'ordre /i -f- i , la distance MN des points M, N des deux courbes qui ont même abscisse (^o-*- A) est d'ordre n 4-1 au moins. On obtiendra donc l'ordre infinitésimal maximum en faisant correspondre tes points des deux courbes qui ont même abscisse.

Il est facile d'évaluer cet ordre. Les deux courbes étant tangentes, on a les relations

/(aro) = F(xo\ f{x.) = F\x,), <p(ro) = 4»(a?o), <p'(a7o) = *'(a'o);

supposons que l'on ait en outre, pour prendre le cas général,

l'une au moins des différences

n'étant pas nulle. La distance MM' sera d'ordre nH- i , et il y aura un contact d'ordre n. Le résultat peut encore s'énoncer comme il suit : Pour avoir l'ordre de contact des deux courbes F, F', il suffit de considérer les projections (C, C) et (C|, C'i) de ces courbes sur les deux plans a:Oy elxOz^ d'évaluer l'ordre de contact de C avec C, celui de G| avec G',, et de prendre le plus petit de ces deux nombres.

Lorsque les courbes F, F' sont représentées par les formules

(F) ar=/(r), ^-?(0, -^ = ^(0.

(n X=/(«\ Y = <ï»(a), Z = iir(a),