IV. — CONTACT DBS COURBES GAUCHES, ETC
ces courbes sont tangentes en un point si, pour u = t = toy on a
nous supposerons qu'au point de contact la tangente n'est pas parallèle au plan des yz, c'est-à-dire que/'(/o) n'est pas nul. Les points des deux courbes qui ont même abscisse correspondent à une même valeur de t. Pour qu'il y ait un contact d'ordre n, il faut et il suffit que ^(/) — ?(^), ^(') ~ ^(0 soient des infiniment petits d'ordre n -^ i par rapport à t — r©, c'est-à-dire que
Ton ait
*'('o) = ?'(*o), . . . , *<«'(^o) = ^^^Uto).
"P'ito) = f (<o), . . ., ^««K'o) - f^Htoh
l'nne au moins des différences
n'étant pas nulle.
On ramène au cas précédent le cas où l'une des courbes F est représentée par les équations
(G7) ar=/(0, r = ?(0. ^^^(f). '
la courbe F' étant représentée par un s^^stème de deux équations
non résolues
F(x,yy z)=o, Fi(ar, j', z)r=o.
En reprenant les raisonnements du n°212, on démontre que, pour qu'il y ait un contact d'ordre n au point de F qui correspond à la valeur to de ^, on doit avoir
en posant
^(0 = F[/(0, ?(0, W)]. ^lin = Fi[/(o, ?(n, ^(0].
235. Courbes osculatrices. — Considérons, d'une part, une courbe déterminée F dont les coordonnées sont exprimées en fonction d'un paramètre par les formules (67); d'autre part, une famille de courbes F' dépendant de 2/1 + 2 paramètres a, 6, c, . . . , /, représentées par les équations
On peut en général disposer de ces an -+- 2 paramètres de façon que l'une des courbes de celle famille ail un contact d'ordre n avec la cqurbe F en un point donné. La courbe ainsi obtenue est dite osculatrice à F. Les équations qui délerminentles paramètres Uj bj Cj . . . , / sont précisément les 2 /i -h 2 équations (68) écrites plus haut. Il est à remarquer que ces équations ne peuvent être compatibles que si chacune des fonctions F, F, contient au moins n 4- 1 paramètres. Par exemple, si les courbes F' sont des courbes planes, l'une des équations (69) ne renferme que trois paramètres; une courbe plane ne peut donc avoir avec une courbe gauche un contact d'ordre supérieur au second, en un point pris au hasard sur la courbe gauche.
Appliquons cette théorie aux courbes les plus simples, la droite et le cercle. Une droite dépend de quatre paramètres; la droite osculatrice aura donc un contact du premier ordre. Il est facile de vérifier qu'elle se confond avec la tangente; si nous écrivons les équations de la droite
les équations (68) deviennent en effet, pour un point (^0? J'oi ^o ' d'une courbe F,
et Ton en tire
on retrouve bien les équations de la tangente. Pour que la tangente eût avec la courbe un contact du second ordre, il faudrait que Ton eût x^ ~ ^5^, y"^^ = 65^, et par conséquent,
^0 ri ^'0 '
les points où il en est ainsi ont été signalés plus haut (n"* 217 *. Un cercle dans l'espace dépend de six paramètres; le cercle osculateur aura donc un contact du second ordre. Ecrivons les équations du cercle
V{x,y, z) — \{x -~ a) ->rY^{y — b)-r- C{z — c) =0,
