IV. — CONTACT DES COURBES GAUCHES, ETC

les paramètres variables étant a, 6, c, R, et les rapports de deux des coefficients A, B, C au troisième. Les équations qui déterminent les valeurs de ces paramètres sont alors, en supposant x^ y, z remplacées par /(/), 'f (/), '}(^) respectivement,

dop cl y ^ dz

dt dt dt

df^ dt^ dt^ '

, dx dv dz

d^r , , d^y , d^ z dx'*- - dy^ - dz^

^ dt^ ^-^ dl^ ' dt^ <://'

La seconde et la troisième de ces relations montrent que le plan du cercle osculaleur est le plan osculateur lui-même. Quant aux deux dernières équations, elles représentent respectivement, quand on y regarde a, b, c comme des coordonnées courantes, le plan normal au point {Xj y, z) et le plan normal infiniment voisin. Le centre du cercle osculateur est donc à l'intersection du plan osculateur et de la droite polaire. Le cercle osculateur se confond par conséquent avec le cercle de courbure, comme on pouvait le prévoir a prlon\ en observant que deux courbes qui ont un contact du second ordre ont même cercle de courbure, puisque j^', z', y", z!' sont les mêmes pour les deux courbes.

236. Contact d'une courbe et d'une surface. - Considérons une surface S et une courbe F tangente en un point A à celte surface. A un point M de la courbe voisin du point A, faisons correspondre, d'après une loi arbitraire, un point M' de la surface, de façon que les deux points M et M' tendent en même temps vers le point A. Nous allons d'abord chercher comment il faut prendre le point M' pour que Tordre infinitésimal de MM' par rapport à l'arc AM soit le plus grand possible. Rapportons la figure à trois axes de coordonnées rectangulaires choisis de telle façon que la tangente à la courbe T ne soit pas parallèle au plan desyZj et que le plan tan-

gent à ]a surface ne soit pas parallèle à Oz, Soient Xq, y^^ z^ les coordonnées du point A, Z = Y^x^y) l'équation de la surface S, yz=if(^x)^ z = o{x) les équations de F, et imaginons que, dans lin certain mode de correspondance, MM' soit un infiniment petit d'ordre /H- i . Les coordonnées x, y y z du point M sont

appelons X, Y, Zr=F(X, Y) les coordonnées de M'. Pour que MM' soit d'ordre /i -f- i par rapport à l'arc AM ou, ce qui revient au même, par rapport à A, il faut que chacune des différences X — x,Y — y y Z — z soit un inHnimcnt petit d'ordre n -i- i au moins. On doit donc avoir

X — a-=r-aA«+i, Y —y=: pA«+«, Z — 5 = F(X, Y) — ^ ^ Y^""^^

a, p, Y restant finis pour /i = o, et par suite

F{x-hOLh^-^\y -i- p^n+i)— z = yA»-»-*.

La différence F(x, y) — z sera donc elle-même d'ordre n -r i au moins. (]eci prouve que, si l'on fait correspondre au point M de F le point N de S où la parallèle k Oz perce la surface, l'ordre infinitésimal de MN est au moins égal à celui de MM'. On aura donc l'ordre de contact de la surface et de la courbe en cherchant l'ordre infinitésimal de MN par rapport à l'arc AM on à h. On peut dire encore que c'est l'ordre de contact de F avec la courbe F' qui est la trace sur la surface du cylindre projetant F parallèlement à Oz, (Il est clair d'ailleurs que la direction Ae Oz peut être une direction quelconque non parallèle au plan tangent.)

Les équations de la courbe F' sont

y =f(x\ Z --. V\x,f(x)] = <i»(ar);

et l'on a, par hypothèse,

si l'on a, en outre,

Va courbe et la surface ont un contact d'ordre n. Observons que l'équation <i>{x) = ^{x) donne les abscisses des points d'iniersec-