IV. — CONTACT DES COURBES GAUCHES, ETC

lion de la courbe et de la surface; les conditions pour qu'il y ait un contact d'ordre n en un point A expriment qu'il y a n -h i points de rencontre confondus avec le point A.

Prenons encore le cas où la courbe F est représentée par les équations x=f(t)y ^ = (p(^), z = ^{t)^ et la surface S par l'équation F{x, y, z) = o. La courbe F', définie tout à l'heure, sera représentée par les équations x =/{t)^ y = <f{t), z = Tz{t), la fonction u(/) étant définie par la relation

Pour que F et F' aient un contact d'ordre /i, il faut que tî(/) — ^{t) soit un infiniment petit d'ordre n -h i par rapport à ^ — toj c'està-dire que l'on ait

On peut encore écrire ces conditions, S{t) ayant la même signification que plus haut (n" 234),

elles expriment que la courbe et la surface ont (/i-^-i) points communs confondus au point de contact.

Si la surface S dépend de /i H- i paramètres a^ by Cy ...,/, on peut en disposer de façon que cette surface ait un contact d'ordre n avec une courbe donnée, en un point donné; la surface ainsi obtenue est dite osculatrice.

Dans le cas d'un plan, on a trois paramètres; les équations qui déterminent ces paramètres sont les suivantes

A/(0 -hBofr') -\-C^[t) -+-D^o, A/'(0 + Bcp'(0+Gf(0 :-o,

On a bien les équations qui déterminent le plan osculateur, et Ton voit que le contact est en général du second ordre. Pour que le contact fût d'ordre plus élevé, il faudrait que l'on eût

c'est-à-dire que le plan osculateur fût slalionnaire.

237. Sphère osculatrice. — Une sphère dépend de quatre paramètres; la sphère osculatrice a donc un contact du troisième ordre.

Pour simplifier les calculs, supposons les coordonnées or, y^ z d'un point de la courbe F exprimées en fonction de Tare s de cette courbe. Pour que la sphère de centre (a, 6, c) et de rajon p ait un contact du troisième ordre avec la courbe F en un point donné de cette courbe, il faut et il suffit que l'on ait

en posant

.r, j^, z étant supposés exprimés en fonction de s. Les trois dernières conditions développées s'écrivent, en appliquant les formules de Frenet,

(s) ^ (jr — a)a-^-(^ — 6)3~(3 - c)y -^o,

.fis) -(x-a) ^-^( y- b)^^-^(z- 0)^-^1=^0,

'' ^'^ " "" ~ \\~ l R "" T j "■ -|ï- TR "^ T j

Ces trois équations déterminent a, 6, c. Or la première représente, quand on y regarde a, 6, c comme les coordonnées courantes, le plan normal à la courbe au point {x, y, 5), et les deux autres s'en déduisent en différentiant par rapport au paramètre variable s; le centre de la sphère osculatrice coïncide donc avec le point où la droite polaire touche son enveloppe. Pour résoudre ces trois équations, observons que la dernière peut s'écrire, en tenant compte des deux autres,

et l'on en tire facilement

a = a7-t-Ra — T ~ a% ds