IV. — CONTACT DBS COURBES GAUCHES, ETC

le rayon de la sphère osculatrice est donné par la formule

Si R est constant, le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le centre de courbure; ce qui est bien d'accord avec un résultat déjà obtenu (n« 233).

238. Droites osculatrices à une surface. — Si les équations d'une courbe C dépendent de ^ -j- 2 paramètres variables, on peut disposer de ces paramètres de façon que cette courbe ait, avec une surface donnée S, en «un point donné M, un contact d'ordre n. En effet, en écrivant que la courbe C passe par le point M, et qu'elle y rencontre la surface S en w 4- i points confondus, on a en tout /i -h 2 équations pour déterminer les paramètres. Par exemple, une droite dépend de quatre paramètres; il existe donc, en chaque point d'une surface, une ou plusieurs droites ayant un contact du second ordre avec la surface. Pour déterminer ces droites, prenons pour origine le point considéré de la surface, l'axe des z n'étant pas dans le plan tangent, et soit z = ¥{x^ y) l'équation de la surface dans ce système d'axes. La droite cherchée passe évidemment par l'origine, et ses équations sont de la forme

l'équation cp = F(ap, 6p) doit admettre p = o pour racine triple, ce qui exige que l'on ait

c = ap -h bq,

o = a^r -h labs -i- 6* /,

/?, q^ r, Sy t désignant les valeurs des dérivées du premier et du second ordre de ¥{Xy y) pour x =:y=^o, La première de ces deux relations exprime que la droite cherchée est dans le plan tangent à la surface, ce qui était encore évident a priori. On voit

de plus que le rapport - est déterminé par une équation du second

degré, qui a ses racines réelles pourvu que s'^ — rt soit positif. En chaque point d'une surface, il y a donc en général deux droites, et deux seulement, qui ont un contact du second ordre

avec la surface; ces droites sont réelles ou imaginaires suivant le signe de s- — rt. Nous retrouverons ces deoix droites au Chapitre suivant, dans l'étude de la courbure des surfaces.

1. Trouver en termes finis les équations des développées de la courbe qui coupe sous un angle constant les génératrices rectilignes du cône circulaire droit; discussion.

[Licence : Marseille, juillet 1884.]

2. Existe-t-il des courbes gauches F telles que les points de rencontre d'un plan fixe P avec la tangente, la normale principale et la binormale soient les sommets d'un triangle équilatéral?

3. Soit r l'arôte de rebroussement d'une surface enveloppe de sphères (enveloppe des cercles caractéristiques); la courbe qui est le lieu du centre de la sphère variable est située sur la surface polaire de T. Réciproque.

-i. Etant donnée une courbe gauche F, par un point fixe O de l'espace on mène une droite parallèle à la droite polaire en un point M de F, et l'on porte sur cette droite une longueur ON égale au rayon de courbure de F au point M. Le point N décrit une courbe gauche F', qui correspond à la courbe F', lieu des centres de courbure de F, avec égalité et orthogonalité des éléments linéaires. Les rayons de courbure des deux courbes F et F' sont égaux aux points correspondants.

[ ROUQI ET.]

5. Si le rayon de la sphère osculatrice à une courbe gauche F a une longueur constante a, cette courbe est située sur une sphère de rayon a, à moins que je rayon de courbure ne soit constant et égal à a,

6. Pour que le lieu des centres de courbure d'une hélice tracée sur un cylindre soit une autre hélice tracée sur un cylindre parallèle au premier, il faut et il suffit que la section droite de celui-ci soit un cercle ou une spirale logarithmique. Dans le dernier cas, ces hélices sont situées sur des cônes de révolution de même axe et de même sommet.

[Tissor, i\ouvelles AnnaleSy t. XI; i852.]

7*. Si deux courbes gauches admettent les mêmes normales principales, les plans osculateurs de ces deux courbes aux points où elles coupent une même normale font un angle constant. Ces deux points et les centres de courbure des deux courbes déterminent quatre points dont le rapport enharmonique est constant. Le produit des rayons de torsion des deux courbes aux points correspondants est constant.

[ Paul Serret, Mannhbim, Schell.]

8*. Soient x^ y^ z les coordonnées rectangulaires d*un point d'une courbe gauche F, s Tare de cette courbe. On appelle courbe adjointe la courbe T© dont les coordonnées ont pour expressions

et courbes associées les courbes représentées par les équations

X — a: cos6 -HXosinÔ, Y — ^ cos6 -+- j^osinO, Z -- 5 cos6-+--5osin0,

où 6 est un angle constant. Trouver la disposition du trièdre fondamental pour ces nouvelles courbes, ainsi que les rayons de courbure et de torsion. Si la courbe F est à courbure constante, la courbe Fo est à torsion constante, et les courbes associées sont des courbes de M. Bertrand. En déduire les équations générales de ces dernières courbes.

9. Étant données deux courbes F, F', tangentes en un point A, on prend sur ces courbes, à partir du point A, et dans le même sens, deux arcs égaux très petits AM, AM'. Trouver la position limite de la droite MM'.

[Cauchy.]

10. Pour qu'une droite invariablement liée au trièdre fondamental d'une courbe gauche F, et passant par le sommet du trièdre, engendre une surface développable, il faut que cette droite se confonde avec la tangente, à moins que la courbe F ne soit une hélice. Dans ce cas, il y a une infinité de droites répondant à la question.

Pour une courbe de M. Bertrand, il existe deux paraboloïdes hyperboliques, invariablement liés au trièdre fondamental, dont toutes les génératrices engendrent des surfaces développables.

[Cesarù, Rivisla di Matematica, t. TF, 189a; p. i55.]

11'. Pour que les normales principales d'une courbe gauche soient Ic-^ binormales d'une autre courbe gauche, on doit avoir entre le rayon (h^ courbure et le rayon de torsion une relation de la forme

\\\^ T-"/ U' A et B étant des constantes.

[Manniieim; Comptes rendus, 1877.] Les cas où une droite menée par un point d'une courbe j^auche, et invariablement liée au trièdre fondamental, reste la normale principale ou la binormale d'une autre courbe gauche ont été étudiés par Pellet (Comptes rendus, mai 1887), par Cesarù (Nouvelles Annales, i888; p. i47)> P'»'' BaWlrand (Mat hesis, 189Î; p. 159).

12. Si le plan osculateur à une courbe gauche F reste tangent à une sphère fixe, de centre 0 : i^le plan mené par la tangente, perpendiculaire à la normale principale, passe par le point O : -2° le rapport du rayon de courbure au rayon de torsion est une fonction linéaire de l'arc. Réciproques.