II. — LIGNES A8T1IPTOTIQUB8. LIGNB8 CONJUGUÉES. ^'Z

tion du plan tangent

(ao) A(X~ a:)-4-B(Y — >')H-G(Z — z) = o;

les coefficients A, B, C doivent satisfaire aux deux relations

i A î^ B -^ C ^ — \ du du du ~ *

l dv dv dv '

qui déterminent les rapports de deux des coefficients A, B, C au troisième (n° 39). Ces coefficients étant calculés, on doit avoir pour une ligne asymptoliqiie

A dx -Bdy r- C dz ~ o, Ad^x-i-hd^y-r-Cd^z r=z o;

la première est encore satisfaite d'elle-même, et, en la difTérentiant, on voit que la seconde peut être remplacée par

( TA ) dA dx ^ dB dy -r- dC dz = o ;

c'est l'équation différentielle cherchée. Si, par exemple, on prend dans les formules (21) C= — i,AetB représentent respectivement les dérivées partielles p et g de z par rapport à ;r et à ^, et l'équation (22) est identique à l'équation (18).

Exemples. — Prenons par exemple la surface conoïde z = <p ( — ) • On

peut poser x = Uy y = uv^ z — ^d'), et les relations (21) deviennent

A-hBv = o, Bi/ — Gcp'(i;) -t: o;

on y satisfait en prenant (î = — a, A = — v(^'(v), B = ^'(i^)^ et l'équation (iifTérentielle (aa) est ici

Mcp' (p) dv^— 2(^'(p) du dv — o.

On a d'abord la solutions = const. qui donne les génératrices rectilignes ; en divisant par dv^ il reste l'équation

o" ( V ) dv 0. du

d'où l'on tire w*= Gcp'(p), et les projections des lignes asymptotiques du second système sur le plan des xy ont pour équation

..= Co-(l),

574 CHAPITBE XII. — SURFACES.

Citons eocore les surfaces signalées par M. Jamet, dont J'équation peut être ramenée à la forme

En prenant pour variables indépendantes 2 et ~ — u, Féquation diiïérentielle des lignes asymptotiques est

et s'intègre par deux quadratures.

Une surface hélicoïde est représentée par les équations

j?=pcosa), ^ — psinai, 5 — /(p) -h Aoi;

nous laissons au lecteur le soin de démontrer que Téquation différentielle des lignes asymptotiques -est

p/'(p ) d^' — ihdiii dp -+- p*/'(p)<ia>*= o;

on en tire encore a> par une quadrature.

241. Lignes asymptotiques des surfaces réglées. — D'une façon générale, Pélimination de A, B, C entre les équations (21) et la relation Ad^x -r- Bd^y -^Cd^z = o conduit à l'équation différentielle des lignes asymptotiques

du du du

(•23) \ à/ ào d^

i di^ dv dv

Cette équation ne renferme pas les différentielles du second ordre d^u ei d^v; on a, en effet,

d':c^.f- d^u-^^dU'^. ''Idu*+-,pL dudç + Çld.*, du dç du^ dudv dv^

et Ton a pour d^y et d^z des expressions analogues. En retranchant de la troisième ligne du déterminant (28) la première ligne