LIGNES ASTHPTOTIQUES. LIGNES CONJUGUEES. 5^'t

multipliée par d'^u et la deuxième multipliée par d^if, il reste

du^

^1 du

dv d^f

d<^ d^ du du

du dv

duO\>

dudv •

d^ dvi

dv*

en développant par rapport aux éléments de la troisième ligne et ordonnant par rapport à du et rft^, cette équation s'écrit

( 'Jt\ ) D du^ -f- 2 D' du dv -f- D Vi^^ = o,

D, D', D" désignant les trois déterminants

' dx

1 dx

ày

' du

du '

àz !

du*

du* 0" =

dv d*x dv*

dy du

ày

d*y dv*

1 dudv

dz 1 du j dz dv d*z dv*

dudv

Considérons, pour donner une application, les surfaces réglées. Toute surface réglée est représentée par des équations de la forme

X — xq-%u^ y =yii-^ ^Uy z = zo-^'fUj

^09 yo9 ^o> a, p, Y étant des fonctions d'un second paramètre variable (^. Lorsqu'on fait w =^ o, le point (^oîJKoî ^o) décrit une certaine courbe F sur la surface; au contraire, lorsque, i> restant constant, on fait varier m, le point décrit une génératrice rectiligne et la variable u est proportionnelle à la distance du point (x, y, z) au point (a?o, J^o» ^o) de la courbe F. On voit immédiatement sur les formules (25) que dans ce cas on a D = o,

tandis que D' est indépendant de u ; quant à Tf^

■au

c'est un polynôme du second degré en u. En divisant le premier membre de Téquation (24) par le facteur dif qui correspond aui génératrices rectiiignes, il reste, pour déterminer le second système de lignes asymptotiques, une équation différentielle de la forme

(26) ^+Lw«-t-Mw-hN=o,

L, M et N étant des fonctions de la variable v. Les équations de cette espèce jouissent de propriétés remarquables, qui seront établies plus tard. Ainsi on verra que le rapport anharmonique de quatre intégrales quelconques est constant; il en résulte que le rapport anharmonique des quatre points de rencontie d'une génératrice quelconque de la surface avec quatre lignes asymptotiques est constant, ce qui permet de trouver toutes ces lignes asymptotiques dès qu'on en connaît trois. On verra aussi que lorsqu'on connaît une ou deux intégrales de l'équation (26), on peut trouver toutes les autres par deux quadratures ou une seule quadrature.

Si toutes les génératrices de la surface rencontrent une droite fixe, cette droite est une ligne asymptotique du second système, et l'on aura toutes les autres par deux quadratures. Si la surface admet deux directrices rectiiignes, on connaît deux lignes asym|)lotiques, et il semblerait qu'il faudra une quadrature pour avoir les autres. Mais on peut obtenir un résultat plus précis. En effet, étant donnée une surface réglée admettant deux directrices rectiiignes, on peut effectuer une transformation homographique de façon que l'une de ces directrices s'éloigne à l'infini; la surface se change en une surface conoïde, et nous avons remarqué (n° 243) que les lignes asymptotiques d'une surface conoïde se déterminent sans aucune quadrature.

24-3. Lignes conjuguées. — On appelle tangentes conjuguées en un point d'une surface S deux droites passant par ce point,