II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. LIGNES CONJUGUÉES
situées dans le plan tangent, et formant un système de diamètres conjugués de l'indicatrice. A toute tangente de la surface correspond évidemment une tangente conjuguée qui coïncide avec la première, si elle est une tangente principale et dans ce cas seulement. Soit z = F(x,y) l'équation de la surface; si m et m' sont les coefBcients angulaires des projections de deux tangentes conjuguées sur le plan des xy^ ces droites doivent être conjuguées harmoniques par rapport aux projections des deux tangentes principales de la surface, projections dont les coefficients angulaires sont racines de Téqualion
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait
Étant donnée une courbe C située sur la surface S, le plan tangent à cette surface tout le long de la courbe C enveloppe une surface dévcloppable qui est tangente à la surface S tout le long de C'y en chaque point M de C, la génératrice de cette développable est la tangente conjuguée de la tangente à C.
Tout le long de la courbe C, x^y^ z^ p^ q sont fonctions d'un paramètre variable a; la génératrice de la surface dévcloppable est définie par les deux équations
— dz -\- p djr -\- q dy — dp{\ — x) — dq{Y —y) = o, dont la dernière se réduit à
T — >' ^ dp r dr -h s dy \ — X dq s dx -f- / dy
Soient m le coefficient angulaire de la projection de la tangente à C, m! le coefficient angulaire de la projection de la génératrice; la relation précédente est identique à la relation (27), car on a
dy Y-v ,
-^ = m, ;r; ^ rrz ni' \
dx A — X
ce qui démontre la proposition énoncée.
On dit que deux familles de courbes de la surface, dont chacune dépend d'un paramètre variable, forment un réseau conjugué, G. 37
lorsque les tangentes aux courbes des deux familles qui passent par un point quelconque de la surface y sont conjuguées. 11 existe évidemment une infinité de réseaux conjugués, car on peut se donner arbitrairement une des deux familles de courbes, et les courbes de la seconde famille sont déterminées par une équation différentielle du premier ordre.
Étant donnée une surface représentée par les équations (19), cherchons à quelles conditions les courbes u = const., v = const. forment un réseaa conjugué. Quand on se déplace sur la courbe v = const., la caractéristique du plan tangent est représentée par les deux équations
A(X-a:)-hB(Y— ^)4-C(Z — 5)=o,
du
pour que cette droite coïncide avec la tangente à la courbe u = const.,
Il . j. dx dy dz ., ^ ., ^^
dont les paramètres directeurs sont -r-» -7-» -r-* " faut et il suffit que
Ton ait
.^-4-B dç
ày T.-^
dv
dX du
dx dh
dv du
dv
dC dz du dv
mais, en diiïérentiant la première de ces relations par rapport à u^ on voit que la seconde peut être remplacée par la suivante
d^x dudv
du dv
à*z du dç
et réiimination de A, B, C entre les équations (21) et (28) conduit finalement à la condition nécessaire et suffisante •
dx du
ày
du
dz du
dx dv
ày
dv
dz di>
du di> du dif du d\>
On peut dire encore que cette condition exprime que x, y^ z sont trois intégrales d'une équation de la forme
()î9 w ^ dudv ~ du
m. — LIGNES DE COURBURE. SjQ
OÙ M et N sont des fonctions quelconques de w et de ^j; il suffira donc de connaître trois intégrales distinctes d'une équation quelconque de celte forme pour avoir les équations d'une surface rapportée à un système conjugué. Si, par exemple, on prend M = N = o, toute intégrale de l'équation (29) est la somme d'une fonction de a et d'une fonction de ^>; sur toute surface représentée par des équations de la forme
les courbes (u) et (v) forment donc un réseau conjugué.
Les surfaces de cette espèce sont appelées sur/aces de translation; elles peuvent être engendrées de deux façons différentes par la translation d'une courbe de forme invariable F, dont un point décrit une autre courbe F'. Considérons en effet les quatre points Mq, Mi, Mj, M de la surface, correspondant respectivement aux valeurs (uq^ çq), (a, t^o)> ("o» ^)t (u, i') des paramètres u^ ç. D'après les formules (3o), ces quatre points sont les sommets d'un parallélogramme. Si, laissant Vq fixe, on fait varier Uj Je point Ml décrit une courbe F de la surface; de même, si Uq reste fixe et qu'on fasse varier Vj le point Mj décrit une autre courbe F' de la surface. On peut donc considérer cette surface comme engendrée par la courbe F animée d'un mouvement de translation dans lequel le point M] décrit F', ou par la courbe F' animée d'un mouvement de translation dans lequel le point Mi décrit F. Il est évident, d'après ce mode de génération, que ces deux familles de courbes sont conjuguées; par exemple, les tangentes aux diverses positions de F', en tous les points de F, forment un cylindre circonscrit à la surface tout le long de F. Les tangentes à ces courbes sont donc conjuguées.
