III. - LIGNES DE COURBURE

246. Définition et propriétés. — Étant donnée une surface S, on appelle lignes de courbure les lignes telles que les normales à la surface aux différents points de Tune d'elles forment une surface développable. Soit z =zf(^x^ y) Téquation de la surface dans un système d'axes rectangulaires, les équations de la normale sont

pour que cette droite engendre une surface développable, il faut et il suffit que les deux équations (n° 223)

I —Zdp-hd{x-^pz) = o,

soient vérifiées pour une même valeur de Z, c'est-à-dire que Ton ait

d{x^pz) djy^qz) dp " dq '

OU, plus simplement,

dx-^pdz __ dy-hqdz dp ~" dq

En remplaçant dz, dp^ dq par leurs valeurs, on peut encore écrire cette équation

(i '\-p^)dx -¥-pq dy pqdx-h(i -^q^)dy ^ r dx -\- s dy s dx -h t dy

On tire de cette équation deux valeurs pour -^; ces valeurs

sont toujours réelles et distinctes, si la surface est réelle. En effet, si l'on remplace dx et dy par a et p respectivement, on a précisément l'équation formée plus haut qui détermine les traces des sections normales principales sur le plan tangent. Les tangentes aux lignes de courbure passant par un point coïncident donc avec les axes de l'indicatrice. La théorie des équations différentielles nous apprend que par tout point non singulier de la surface (autre qu'un ombilic) il passe une ligne de courbure, et une seulement, tangente à chacun des axes de Tindicatrice. Ces lignes sont toujours réelles si la surface est réelle; elles forment sur la surface un réseau qui est à la fois orthogonal et conjugué.

Exemple, — Soit à déterminer les lignes de courbure du paraboloïde

= 2>:.0na a

et réquation difTérentielle (33) devient ici

{a^-^y^)dx^= {a^-\-x^)dy^.

On en tire

dx , dy

/or* H- a* ^y--i-asi nous prenons, par exemple, le signe -h devant les deux radicaux, Tin-