III. — LIGNES DB COURBUBB
tégrale générale est représentée par Téquation
(x-h /x* -H a* ) (7 -h v/y*-ha*) = C, qui donne Tun des systèmes de lignes de courbure. Si Ton pose
(34) X = X /j^>4- a* -hy)/x^-^ «%
Féquation précédente peut encore s'écrire
d'après l'identité
(ar v(x*-i- a^-hy /a:'*-+-a*)'-H a*= [a:^ -f- /( .r* -h a* ) ( 7* H- a*)]*,
et il s'ensuit que les projections do l'un des systèmes de lignes de courbure sont représentées par l'équation (34), où X désigne une constante arbitraire. On verrait de même que les projections des lignes de courbure de l'autre système sont représentées par l'équation
(35) x^y^-ha^ — 7 /ar» -h a* = fx.
En tenant compte de l'équation du paraboloïde xy = az, les relations (34) et (35) peuvent encore s'écrire
or
^x'^-hz^ et v(r*-^ -*
représentent les distances du point (ar, 7, -s) au\ deux axes Oy et Ox respectivement. Les lignes de courbure du paraboloïde sont donc des courbes telles que la somme ou la différence des distances de Vun quelconque de leurs points aux deux axes Ox et Oy est constante.
247. Développée d'une surface. — Soit G une ligne de courbure de la surface S; lorsque le point M décrit la courbe C, la normale MN à la surface reste tangente à une courbe F. Appelons A le point de contact, et soient X, Y, Z ses coordonnées; la coordonnée Z est donnée par Tune quelconque des équations (Sa), qui se réduisent à une seule, puisque G est une ligne de courbure. Ces équations (82) peuvent s'écrire
„ (i-hp^)dx-\-pq dy pq dx-\-(\ -h q^)dy
^ ~ r dx -\- s dy ~ sdx -\- t dy *
on obtient encore une fraction équivalente à ces deux-là en multipliant les deux termes du premier rapport par dx^ les deux
termes du second par dy^ el les combinant par voie d'addition, ce qui donne
r dx^ -\- is dx dy -^ t dy^
Mais dx^ dy^ dz sont proportionnels aux cosinus directeurs a, P, Y d^ 1^ tangente, et Ton a encore
ij ■— Z = Ti ;:r^ =
Si nous comparons cette formule à la formule (7), qui donne le rayon de courbure R, pris avec son signe, de la section normale tangente à la ligne de courbure, on voit que la relation précédente peut s'écrire
(36) z — 5=- -^ = Rv,
V étant le cosinus de l'angle aigu que fait la direction positive de la normale avec Oz, Maisz -+- Rv est précisément égal à la valeur de Z pour le centre de courbure de cette section normale. Il s'ensuit que le point de contact A de la normale MN avec son enveloppe T coïncide avec le centre de courbure de la section normale principale tangente à G. La courbe F est donc le lieu môme de ces centres de courbure. Si l'on considère toutes les lignes de courbure du même système que la ligne G, le lieu des courbes F correspondantes est une surface S à laquelle toutes les normales de S restent tangentes. Gar la normale MN, par exemple, est tangente en A à la courbe F située sur S.
Gonsidérons maintenant la seconde ligne de courbure G' passant par M et coupant orthogonalement la première G. La normale à la surface S le long de G' reste de même tangente à une courbe F' qui est le lieu des centres de courbure des sections normales tangentes à C. Le lieu de cette courbe F' pour l'ensemble des lignes de courbure du même système que G' est une surface S' à laquelle sont tangentes toutes les normales de S. Les deux surfaces S, S' ne sont pas, en général, analytiquement distinctes, mais constituent deux nappes d'une seule surface représentée par une équation indécomposable.
La normale MN à la surface S est tangente à ces deux nappes S,
m. — LIGNES DB COURBURE. 583
S', aux deux centres de courbure principaux A et A' de la surface S au point M. Il est facile de trouver les plans tangents à ces deux nappes aux points A et A' {Jig- 5i). Lorsque le point M décrit la courbe C, la normale MN engendre une surface développable D ayant F pour arête de rebroussement; d^autre part, le point de contact A' de cette normale MN avec S' décrit une courbe y' distincte de F', car la droite MN ne peut rester tangente
Fig. 5i.
à la fois aux deux courbes F et F'. La développable D et la surface S' sont donc tangentes au point A', et, par suite, le plan tangent en A' à L' est tangent à la développable D le long de MN ; c'est donc le plan NMT, passant par la tangente à C. On verrait de même que le plan langent à la surface S au point A est le plan NMT' passant par la tangente à la seconde ligne de courbure C.
Les deux plans NMT, NMT' sont rectangulaires, ce qui conduit à une propriété importante de la développée. Imaginons que d'un point quelconque O de l'espace on abaisse une normale OM sur la surface S, et soient A et A' les centres de courbure principaux de S sur cette normale. Les plans tangents aux points A et A' aux deux nappes S, Y! de la développée sont orthogonaux; comme ces plans tangents passent au point O, on voit que les deux nappes de la développée d'une surface S, vues d'un point quel-
conque O de V espace, paraissent se' couper à angle droit, La réciproque de cette propriété sera démontrée plus loin.
248. Formules d'Olinde Rodrigues. — Désignons toujours par X, [A, V les cosinus directeurs de la normale à la surface, parR un rayon de courbure principal; les coordonnées du centre de courbure correspondant sont
(37) X = x-+-RX, Y=j'-+-RîJi, Z=;;-f-Rv.
Lorsque le point (»r, jk» ^) décrit la ligne de courbure tangente à la section normale dont le rayon de courbure est R, ce centre de courbure décrit, nous venons de le voir, une courbe F tangente à la normale MN de S. On doit donc avoir
OU, en remplaçant X, Y, Z par les valeurs (Sj),
Ht h- R <f à ^r 4- R d\L dz -H R c?v
la valeur commune de ces rapports est zéro, car si on les combine par addition après avoir multiplié les deux termes du premier par X, ceux du deuxième par [a, ceux du troisième par v, on a un rapport équivalent dont le dénominateur est Tunité, tandis que le numérateur
X t/a7 -+- (1 rf^ -h V ûf,5 -h R ( X c?X -f- |x û?fx -h V e/v)
est identiquement nul. Nous obtenons ainsi les formules d'Olinde Rodrigues
(38) c^-hRrfX = o, û?7 -h R û?[x = o, û^^-hRrfv = o,
qui jouent un rôle important dans la théorie des surfaces. Bien entendu, ces formules ne s'appliquent qu'à un déplacement du point (a^*, y^ z) sur une ligne de courbure.
249. Lignes de courbure en coordonnées curvilignes. — Lorsque les coordonnées rectangulaires x^ y^ z d'un point d'une surface sont exprimées au moyen de deux paramètres variables £/, ç^ les
