ABC
d\ d^ dC
en remplaçant ^, JK? -3, A, B, G par leurs expressions au moyen des variables Uy i^, on a l'équation différentielle des lignes de courbure.
Cherchons, par exemple, les lignes de courbure de l'hélicoïde
z = a arc tang — •
On peut poser ici
J7 = p cosO, j = psinG, 5 = a6;
les coefficients A, B, C doivent satisfaire aux deux relations
A cos6 -h B sin6 = o,
— Ap sinG H- Bp cos6 -h Ca = o.
Nous prendrons G = p et, par suite, A = a sin6, B = — a cos6.
L'équation différentielle (89) devient ici, en développant et réduisant les termes semblables,
On en tire
si nous prenons, par exemple^ le signe -h, il vient en intégrant,
et
p -+• /p^-i- a* = ae^
p= ^ [eO-Oo c-vO-e„J].
Les projections de ces lignes de courbure sur le plan des xy sont des spirales toutes égales qu'il est facile de construire.
La même méthode permet aussi de former Téqualion du second degré qui admet pour racines les rayons de courbure principaux. Les lettres A, B, C, \ jx, v ayant la même signification que plus haut, on a, au signe près,
